¿Es posible una transformación lineal de R3 a R?
Es que tengo un ejercicio y no se como proceder, ya he buscado en videos tutoriales, pdf's y nada :( ...el ejercicio dice
Sea T : R3 → R[X] una transformación lineal.
Encontrar T tal que:
T (1, 0,-1) = 2-x
T (0, 2, 1) = 1+x
T (1, 3, 1) = 3x-2
Gracias de antemano
Update:He pensado también que debería ser de R3→R2 y luego de R2→R
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Lo que hay que notar es que { (1,0,-1), (0,2,1), (1,3,1)} es un conjunto linealmente independiente y como dim(R^3)=3 entonces dicho conjunto forma una base para R^3.
Esto quiere decir que dado un vector arbitrario (a,b,c) en R^3 entonces existen escalares e,f,g tales que:
(a,b,c) = e(1,0,-1) + f(0,2,1) + g(1,3,1)
= (e+g,2f+3g,-e+f+g)
Por lo tanto e+g=a, 2f+3g = b, -e+f+g = c. Resolviendo el sistema para e,f y g se obtiene lo siguiente:
e= b - 2c - a
f = 2b - 3a - 3c
g= 2a + 2c - b
Luego como T es lineal:
T(a,b,c) = (b-2c-a)T(1,0,-1) + (2b-3a-3c)T(0,2,1) + (2a+2c-b)T(1,3,1). Ahora usamos los datos y sustituimos:
T(a,b,c) = (b-2c-a)(2-x) + (2b-3a-3c)(1+x) + (2a+2c-b)(3x-2).
Puedes dejarlo así o simplificar:
T(a,b,c) = 4ax -9a - 2bx + 6b + 5cx - 11c. Esta es la transformación lineal deseada.
Observa que:
T(1,0,-1) = 4x - 9 - 5x + 11 = 2 - x.
T(0,2,1) = -4x + 12 + 5x - 11 = x + 1.
T(1,3,1) = 4x - 9 - 6x + 18 + 5x - 11 = 3x - 2
Saludos.