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Hola

Encuentra en cada caso

la recta L que pasa por el punto Q y es ortogonal al plano P

La idea es llevar la ecuación del plano a la forma normal

N * r = k

porque el vector N

es el vector dirección de la recta buscada.

La recta buscada tiene la ecuación

r = ro + t N

ro : punto por donde pasa la recta

t : parámetro escalar

a) Q=(1,2,3), P={(2,1,-1) + u(1,1,1) + v(-1,1,0)}

1) x = 2 + u - v

2) y = 1 + u + v

3) z = -1 + u

de 3)

u = z + 1

en 1)

1') x = 2 + z + 1 - v

1') x = 3 + z - v

2') y = 1 + z + 1 + v

2') y = 2 + z + v

sumamos 1') 2')

x + y = 5 + 2 z

x + y - 2 z = 5

(1 , 1 , -2) * (x , y , z) = 5

Entonces

N = (1 , 1 , -2)

Recta pedida

En forma vectorial

r = (1,2,3) + t (1 , 1 , -2)

En forma paramétrica

x = 1 + t

y = 2 + t

z = 3 - 2 t

***************

b) Q=(1,-1,4), P: 2x + y + z=5

(2 , 1 , 1) (x , y, z) = 5

N = (2 , 1 , 1)

Recta pedida

En forma vectorial

r = (1 , -1 , 4) + t (2 , 1 , 1)

En forma paramétrica

x = 1 + 2 t

y = -1 + t

z = 4 + t

la verdad noc

Tienes el punto y los dos vectores del plano. Haciendo el producto vectorial puedes obtener un vector ortogonal al plano (perpendicular al plano). Teniendo el punto del plano por el que tiene que pasar, y un vector perpendicular al plano, ya tendrías punto y vector de dirección para tu recta.