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Hola

Planteamos la definición poco conocida

de la ecuación de la elipse por la directriz y el foco.

Resulta ser que

la distancia entre

un punto de la elipse y la directriz

es proporcional a

la distancia entre

un punto de la elipse y el foco correspondiente

Entonces

Distancia desde directriz desde un punto (x,y)

Dd = abs(x - 2)

Distancia desde foco desde un punto (x,y)

Df^2 = (x + 1)^2 + (y + 4)^2

decimos que

Dd = k Df

Dd^2 = k^2 Df^2

ó

(x - 2)^2 = k^2 ( (x + 1)^2 + (y + 4)^2)

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Por otro lado,

nos dan un punto de la elipse

x = -3 ; y = -3

(-3 - 2)^2 = k^2 ( (-3 + 1)^2 + (-3 + 4)^2)

(-5)^2 = k^2 ( (-2)^2 + (1)^2)

k^2 (4 + 1) = 25

k^2 = 25/5

k^2 = 5

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así que la ecuación de la elipse es

(x - 2)^2 = 5 ( (x + 1)^2 + (y + 4)^2)

Desarrollemos para identificar los elementos de la elipse

5 (x^2 + 2 x + 1) + 5 (y^2 + 8 y + 16) = x^2 - 4 x + 4

5 x^2 + 5 y^2 + 10 x + 40 y + 5 + 80 = x^2 - 4 x + 4

4 x^2 + 5 y^2 + 14 x + 40 y = -81

Sacamos factor común y completamos cuadrados

4 (x^2 + (7/2) x) + 5 ( y^2 + 8 y) = -81

4 (x^2 + 2*(7/4) x) + 5 ( y^2 + 2*4 y) = -81

4 (x^2 + 2*(7/4) x + (7/4)^2) + 5 ( y^2 + 2*4 y + 4^2) =

= -81 + 4 (49/16) + 5 (16)

4 (x + (7/4))^2 + 5 (y + 4)^2 = -1 + (49/4) = (-4/4) + (49/4)

4 (x + (7/4))^2 + 5 (y + 4)^2 = 45/4

dividimos todo por 45/4

(x + (7/4))^2/(45/16) + (y + 4)^2/(9/4) = 1

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Ahora podemos identificar

Centro -7/4 ; -4

Semieje mayor

a = raiz(45/16) = (3/4) raiz(5)

Semieje menor

b = raiz(9/4) = 3/2

Semieje focal

c^2 = a^2 - b^2 = (45/16) - (9/4) = (45/16) - (36/16) = 9/16

c = 3/4

Excentricidad

e = c/a = 1/raiz(5)

Esta es la inversa de la constante k arriba citada...

Lado recto

LR = 2b^2/a = 2(9/4)/((3/4) raiz(5)) = 6/raiz(5) = (6/5)raiz(5)

Verificado con Graphmatica.