¿. El agua sale de un depósito en forma de cono invertido?
. El agua sale de un depósito en forma de cono invertido a razón de 10 000 cm3min al mismo tiempo que se bombea agua al depósito a razón constante. El depósito mide 6 m de altura, y el diámetro en la parte superior es de 4 m. Si el nivel del agua se eleva a razón de 20 cmmin cuando la altura del agua es de 2 m, calcule la razón a la cual el agua está siendo bombeada hacia el tanque.
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V=H(pi)R^2/3
em todo o tempo (H/R) = 6/2=3
ou R=H/3
Agua que entra = dV/dT
agua que sai = 10.000cm^3/min
V=H(pi)R^2/3=H(pi)(H/3)^2/3
V=(pi)H^3/27
dV/dt= (dV/dH)*(dH/dT)
=( 3/27)(pi)H^2*dH/dT(para H=200cm)
=(1/9)(pi)(200)^2*20=
=(8/9)(pi)10^4 cm^3/min
assim
la razón a la cual el agua está siendo bombeada hacia el tanque.
= dV/dT=
dV/dT= 10.000cm^3/min +
(8/9)(pi)10^4 cm^3/min
Hola
H, R Altura y radio del cono invertido
h, r Altura y radio instantáneo del volumen de agua
Se conserva la proporción
h/r = H/R
r = (R/H) h
h = (H/R) r
Datos
dh/dt = 20 cm/min = 0.2 m/min
Qs = 10000 cm^3/min = 0.01 m^3/min
H = 6 m
R = 4 m/2 = 2 m
H/R = 6/4 = 3/2 = 1.5
R/H = 2/3
Cálculo en
h = 2 m
r = (2/3) 2 = 4/3 m = 1.33 m
Volumen del depósito
V = (1/3) π r^2 h
V = (1/3) π ( (R/H) h)^2 h
V = (1/3) π (R/H)^2 h^2 h
V = (1/3) π (R/H)^2 h^3
Derivada logarítmica
ln(V) = ln( (1/3) π (R/H)^2) + ln(h^3)
ln(V) = ln( (1/3) π (R/H)^2) + 3 ln(h)
Diferenciamos
dV/V = 3 dh/h
Dividimos por la diferencial del tiempo
(1/V) dV/dt = 3 (1/h) dh/dt
dV/dt = 3 (V/h) dh/dt
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volumen en el momento de cálculo
V = (1/3) π r^2 h
V = (1/3)* 3.14 * (1.33 m)^2 * (2 m)
V = 3.70 m^3
dV/dt = 3 (3.70 m^3 / 2 m) * (0.2 m/min)
dV/dt =1.11 m^3/min = 1110 l/min
Caudal de salida
Qs = 10000 cm^3/min = 0.01 m^3/min
Caudal de entrada
Qe = dV/dt + Qs
Qe = 1.11 m^3/min + 0.01 m^3/min
Qe = 1.12 m^3/min = 1120 l/min
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