¿Ejercicio sobre integración, por favor?
Sea f una función biyectiva, con derivada continua. Probar las relaciones:
1-
Int de "f(a)" a "f(b)" de f^-1(u)du= Int de "a" a "b" de t*f´(t)dt
Sugerencia: Usar el cambio de variable u=f(t).
2- Llegar a la igualdad:
Int de "a" a "b" de f + Int de "f(a)" a "f(b)" de f^-1 = bf(b) -af(a)
Donde: Int es integral
f^-1 es la inversa de f.
f´(t) es la derivada de f con respecto a t.
Gracias!
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Hola
f^-1(u) = t
u = f(t)
Límites de integración
cuando u = f(a) -> t = a = f^-1(u)
cuando u = f(b) -> t = b = f^-1(u)
(válido para f(t) unívoca)
Diferencial
du = d(f(t)) = (d(f(t))/dt) * dt = f'(t) dt
ʃ [u_desde_f(a)_hasta_f(b)] f^-1(u) du =
= ʃ[t_desde_a_hasta_b] t (f'(t) dt)
**********
Ejemplo
ʃ[u_de_e^2_a_e^3] ln(u) du = (u ln(u) - u) [u_de_e^2_a_e^3]
ʃ[u_de_e^2_a_e^3] ln(u) du =
= (e^3 ln(e^3) - (e^3)) - (e^2 ln(e^2) - (e^2))
= 3 e^3 - e^3 - 2 e^2 + e^2
= 2 e^3 - e^2
ʃ[t_de_2_a_3] t e^t dt = e^t (t - 1) [t_de_2_a_3]
= (e^3(3 - 1)) - e^2(2 - 1)
= 2 e^3 - e^2