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Hola

Primero,

-1 en polares

-1, sobre el eje x,

con módulo (distancia al origen) 1

y ángulo de 180º = π rad

-1 = 1 (cos(π) + i sen(π))

Recordamos que 2 π radianes = 360º

se puede sumar sin que altere la función trigonométrica

-1 = 1 (cos(π + 2 k π) + i sen(π + 2 k π))

k : cualquier entero

Ahora, las raices cuartas se obtienen

sacando la raiz cuarta del módulo

y tomando la cuarta parte del argumento

(-1)^(1/4) = 1^(1/4) (cos( (π + 2 k π)/4) + i sen( (π + 2 k π)/4) )

(-1)^(1/4) = (cos( (π + 2 k π)/4) + i sen( (π + 2 k π)/4) )

Cuando k está entre 0 y 3,

tenemos 4 raíces únicas.

Otros valores enteros de k son posibles

pero repetirán estos 4 valores

Entonces, las 4 raíces

k = 0

zo = cos(π/4) + i sen(π/4)

zo = cos(45º) + i sen(45º)

zo = (1/2) √2 (1 + i)

k = 1

z1 = cos(3π/4) + i sen(3π/4)

z1 = cos(135º) + i sen(135º)

z1 = (1/2) √2 (-1 + i)

k = 2

z2 = cos(5π/4) + i sen(5π/4)

z2 = cos(225º) + i sen(225º)

z2 = (1/2) √2 (-1 - i)

k = 3

z3 = cos(7π/4) + i sen(7π/4)

z3 = cos(315º) + i sen(315º)

z3 = (1/2) √2 (1 - i)

Como corresponde a raíces cuartas

los extremos de las 4 raíces complejas

son los vértices de un cuadrado.

Saludos