Hola

Que tenga período p significa que se cumple,

para todo x, la igualdad

f(x + p) = f(x)

(y que p es el mínimo número que cumple esto)

Se puede demostrar por inducción

que para cualquier entero n

f(x + n p) = f(x)

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ʃ[x_desde_a_hasta_a+p] f(x) dx

Dividimos a por p

a = c p + r

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c: entero

0 <= r < p

Deducimos, restando todo a p

0 < p - r <= p

Dividimos el intervalo

[a , a + p] en [a , a + (p - r)] U [a + (p - r) , a + p]

con el último intervalo probablemente nulo

La integral se puede presentar en 2 partes

ʃ[x_desde_a_hasta_a+p] f(x) dx

= ʃ[x_desde_a_hasta_a+(p-r)] f(x) dx +

+ ʃ[x_desde_a+(p-r)_hasta_a+p] f(x) dx

Primera integral

ʃ[x_desde_a_hasta_a+(p-r)] f(x) dx

Sustituimos

x = u + c p = u + a - r

u = x - c p = x - a + r

dx = du

límites

cuando x = a -> u = r

cuando x = a+p-r -> u = p

por ser p un período

f(x) = f(u + cp) = f(u)

Nos queda

ʃ[x_desde_a_hasta_a+(p-r)] f(x) dx =

= ʃ[u_desde_r_hasta_p] f(u) du

***********

Segunda integral

ʃ[x_desde_a+(p-r)_hasta_a+p] f(x) dx

Sustituimos

x = v + (c + 1) p = v + a + p - r

v = x - c p = x - a - p + r

dx = dv

límites

cuando x = a+(p-r) -> v = 0

cuando x = a+p -> v = r

por ser p un período

f(x) = f(v + (c+1)p) = f(v)

Nos queda

ʃ[x_desde_a+(p-r)_hasta_a+p] f(x) dx =

= ʃ[v_desde_0_hasta_r] f(v) dv

***********

En total

ʃ[x_desde_a_hasta_a+p] f(x) dx

= ʃ[x_desde_a_hasta_a+(p-r)] f(x) dx +

+ ʃ[x_desde_a+(p-r)_hasta_a+p] f(x) dx

= ʃ[u_desde_r_hasta_p] f(u) du +

+ʃ[v_desde_0_hasta_r] f(v) dv

Observemos que u y v son variables mudas de integración,

así que podemos cambiar ambas por la letra x

ʃ[x_desde_a_hasta_a+p] f(x) dx

= ʃ[x_desde_r_hasta_p] f(x) dx +

+ʃ[x_desde_0_hasta_r] f(x) dx

ordenamos

ʃ[x_desde_a_hasta_a+p] f(x) dx

= ʃ[x_desde_0_hasta_r] f(x) dx +

+ ʃ[x_desde_r_hasta_p] f(x) dx

Usamos propiedades de integración

ʃ[x_desde_a_hasta_a+p] f(x) dx

= ʃ[x_desde_0_hasta_p] f(x) dx

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Me gustó...

no se puede saber. Depende de la función que sea. Por ejemplo, en el seno el área es 0 pero la de sin(x)+1 es 2"pi... depende de la función.

Lo que sí puedes asegurar es que desde a hasta a+p es la misma que desde 0 a p.