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Hola

u = f(x)

x = f^-1(u)

d(x u) = u d x + x du

sustituimos

u = f(x)

x = f^-1(u)

d(x f(x)) = f(x) dx + f^(-1)(u) du

Integramos en forma definida

ʃ[x_desde_a_hasta_b] d(x f(x)) =

= ʃ[x_desde_a_hasta_b] f(x) dx +

+ ʃ[x_desde_a_hasta_b]f^(-1)(u) du

Límites en la integral

ʃ[x_desde_a_hasta_b]f^(-1)(u) du

Recordamos que

u = f(x)

Cuando x = b -> u = f(b)

Cuando x = a -> u = f(a)

Queda

ʃ[u_desde_f(a)_hasta_f(b)]f^(-1)(u) du

ʃ[x_desde_a_hasta_b] d(x f(x)) =

= ʃ[x_desde_a_hasta_b] f(x) dx +

+ ʃ[u_desde_f(a)_hasta_f(b)]f^(-1)(u) du

Integramos directamente el primer miembro

(x f(x)) [x_desde_a_hasta_b] =

= ʃ[x_desde_a_hasta_b] f(x) dx +

+ ʃ[u_desde_f(a)_hasta_f(b)]f^(-1)(u) du

b f(b) - a f(a) =

= ʃ[x_desde_a_hasta_b] f(x) dx +

+ ʃ[u_desde_f(a)_hasta_f(b)]f^(-1)(u) du

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