Verified answer

Hola

Tenemos la ecuación implícita

f(x,y) = c

diferenciamos

df = d(c) = 0

Aplicamos las fórmulas de diferencial

∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy = 0

deducimos la derivada de y en función de f

∂f/∂y dy = - ∂f/∂x dx

y' = dy/dx = -∂f/∂x/∂f/∂y

*******************

Recordamos que

y' = tan(a)

donde a es el ángulo de la recta tangente con la horizontal

es decir

tan(a) = y' = -∂f/∂x/∂f/∂y

La nueva curva tiene la recta tangente

con un ángulo b sobre la horizontal

que cumple.

b = 45º + a

entonces

tan(b) = tan(45º + a)

tan(b) = (tan(45º) + tan(a)) / (1 - tan(45º) tan(a))

tan(b) = (1 + tan(a)) / (1 - tan(a))

tan(b) = (1 - (∂f/∂x/∂f/∂y)) / (1 + (∂f/∂x/∂f/∂y))

Para la familia de curvas

con tangente a 45º de la familia original

se cumple

y' = tan(b)

y' = (1 - (∂f/∂x/∂f/∂y)) / (1 + (∂f/∂x/∂f/∂y))

**********

Ahora aplicamos a

y^2 = x - c

formamos

f(x,y) = y^2 - x = -c

Calculamos

∂f/∂x = -1

∂f/∂x = 2 y

Remplazamos

y' = (1 - (-1/(2y)))/(1 + (-1/(2y)))

y' = (1 + (1/(2y)) )/(1 - (1/(2y)))

Multiplicamos arriba y abajo por y

y' = (y + (1/2))/(y - (1/2))

Separamos variables

y' = dy/dx = (y + (1/2))/(y - (1/2))

(y - (1/2)) dy/(y + (1/2)) = dx

Separamos fracciones

(y + (1/2) - 1) dy/(y + (1/2)) = dx

dy - (dy/(y + (1/2)) = dx

Integramos y obtenemos

la familia de curvas

con tangente a 45º de la familia original

y - ln(y + (1/2)) = x + C

***********

Revisa los cálculos, por favor

Feliz jueves.

102

Nose