Hola estiamdo/a,

Efectivamente se puede resolver por la transformada de Laplace pero no es el único método. Sin embargo, a resolveremos utilizado dicha transformada.

Para este ejercicio utilizaremos las propiedades de linealidad de la transformada, las transformadas notables y las transformadas de derivadas. Te recomiendo repasarlas si es que todavía no te las sabes de memoria,

y'' - 2y' - 3y = 4 ; y(0) = 1 , y'(0) = -1

Utilizaremos la transformada en toda la ecuación y llamaremos Y(s) = L{y}:

y'' - 2y' - 3y = 4 / L{ }

L{y''} - L{2y'} - L{3y} = L{4}

L{y''} - 2 L{y'} - 3 L{y} = L{4}

s² Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2[s Y(s) - y(0)] - 3 Y(s) = 4/s

Reemplazando las condiciones iniciales:

s² Y(s) - s + 1 - 2[s Y(s) - 1] - 3 Y(s) = 4/s

s² Y(s) - s + 1 - 2s Y(s) + 2 - 3 Y(s) = 4/s

Despejando Y(s):

s² Y(s) - 2s Y(s) - 3 Y(s) = 4/s + (s - 3)

Y(s) (s² - 2s - 3) = 4/s + (s - 3)

Y(s) (s + 1) (s - 3) = 4/s + (s - 3)

Y(s) = 4 / [s (s - 3) (s + 1)] + 1 / (s + 1) (1)

Ahora, utilizaremos fracciones parciales en la primera fracción.

4 / [s (s - 3) (s + 1)] = A/S + B / (s - 3) + C / (s + 1)

4 = A (s - 3) (s + 1) + B s (s + 1) + C s (s - 3)

Si s = 0, entonces:

4 = -3A

A = -4/3

Si s = 3, entonces:

4 = 12B

B = 1/3

Si s = -1, entonces:

4 = 4C

C = 1

Por lo que tenemos:

4 / [s (s - 3) (s + 1)] = -4/3s + 1 / [3(s - 3)] + 1 / (s + 1)

Utilizando este resultado en (1):

Y(s) = -4/3s + 1 / [3(s - 3)] + 1 / (s + 1) + 1 / (s + 1)

Y(s) = -4/3s + 1 / [3(s - 3)] + 2 / (s + 1)

Ahora, aplicaremos la transformada de Laplace inversa a ambos lados de la igualdad:

Y(s) = -4/3s + 1 / [3(s - 3)] + 2 / (s + 1) / L^(-1) { }

L^(-1) {Y(s)} = (-4/3) L^(-1) {1/s} + (1/3) L^(-1) {1 / (s - 3)} + 2 L^(-1) {1 / (s + 1)}

y(t) = -4/3 + e^(-3t)/3 + 2e^(-t)

Por lo tanto, la respuesta al problema de valor inicial que planteas sería:

y(t) = -4/3 + e^(-3t)/3 + 2e^(-t)

Saludos.

Matías del Río R.

Estudiante Ingeniería Civil Industrial, Universidad Adolfo Ibáñez. Santiago, Chile.

Hola

L(y) = Y

L(y') = s Y - yo

L(y') = s Y - 1

L(y'') = s^2 Y - yo s - y'o

L(y'') = s^2 Y - s + 1

L(4) = 4/s

Queda

s^2 Y - s + 1 - 2 (s Y - 1) - 3 Y = 4/s

s^2 Y - s + 1 - 2 s Y + 2 - 3 Y = 4/s

(s^2 - 2 s - 3) Y - s + 3 = 4/s

(s^2 - 2 s - 3) Y = (4/s) + (s - 3)

Completamos cuadrados

s^2 - 2 s - 3 = s^2 - 2 s + 1 - 4

s^2 - 2 s - 3 = (s - 1)^2 - 2^2

s^2 - 2 s - 3 = ((s - 1) - 2) ((s - 1) + 2)

s^2 - 2 s - 3 = (s - 3) (s + 1)

((s - 3) (s + 1)) Y = (4/s) + s - 3

Y = (4/(s(s - 3) (s + 1))) + (s - 3)/((s - 3) (s + 1))

Y = (4/(s (s - 3) (s + 1))) + (1/(s + 1))

******************************************

Planteamos

(4/(s (s - 3) (s + 1))) = (A/s) + (B/(s - 3)) + (C/(s + 1))

Averiguamos A multiplicando por s

A + (B s/(s - 3)) + (C s/(s + 1)) = (4/((s - 3) (s + 1))

A = Lim (4/((s - 3) (s + 1))

........s->0

A = 4/((-3)(1)) = -4/3

A = -4/3

************

Averiguamos B multiplicando por s - 3

(A(s - 3)/s) + B + (C(s - 3)/(s - 4)) = (4/(s (s + 1)))

B = Lim (4/(s (s + 1)))

........s->3

B = 4/((3)(4)) = 1/3

Averiguamos C multiplicando por s + 1

(A(s + 1)/s) + (B(s + 1)/(s - 3)) + C = (4/(s (s - 3)))

C = Lim (4/(s (s - 3)))

........s->-1

C = (4/((-1) (-4)) = 1

Entonces

(4/(s (s - 3) (s + 1))) =

= (-4/3) (1/s) + (1/3) (1/(s - 3)) + (1/(s + 1))

**************************************************

La antitransformada queda

Y = (4/(s (s - 3) (s + 1))) + (1/(s + 1))

Y = (-4/3) (1/s) + (1/3) (1/(s - 3)) + (1/(s + 1)) +

+(1/(s + 1))

Y = (-4/3) (1/s) + (1/3) (1/(s - 3)) + (2/(s + 1))

Solución ecuación diferencial

y(t) = (-4/3) + (1/3) e^(3 t) + 2 e^(-t)

*******************************************

Verificamos

y(0) = (-4/3) + (1/3) + 2 = -1 + 2 = 1

y'(t) = (1/3) 3 e^(3 t) + 2 (-1) e^(-t)

y'(t) = e^(3 t) - 2 e^(-t)

y'(0) = 1 - 2 = -1

y''(t) = 3 e^(3 t) + 2 e^(-t)

y'' - 2 y' - 3 =

= (3 e^(3 t) + 2 e^(-t)) -

- 2 (e^(3 t) - 2 e^(-t))

- 3 ((-4/3) + (1/3) e^(3 t) + 2 e^(-t))

y'' - 2 y' - 3 =

= 3 e^(3 t) + 2 e^(-t) -

- 2 e^(3 t) + 4 e^(-t) +

+ 4 - e^(3 t) - 6 e^(-t))

y'' - 2 y' - 3 = 4

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Saludos