è possibile costruire un omeomorfismo tra il triangolo-quadrato e il cerchio?
Leggevo qui, ma non ho capito come viene fatto
https://math.stackexchange.com/questions/2272737/e...
Tra l'altro se è possibile 'quadrare il cerchio' è possibile anche fare l'operazione inversa, cioè 'cerchiare' il quadrato ?
Riferimenti ?
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Consideriamo il cerchio C = {(x, y) : x² + y² ≤ 1} di centro (0, 0) e raggio 1, e il quadrato Q = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1} di centro (0, 0) e vertici (±1, 0), (0, ±1).
Indicate con ||(x, y)|| = √(x² + y²), |(x, y)| = |x| + |y| le due norme di R² per le quali
C = {P : ||P|| ≤ 1}, Q = {P : |P| ≤ 1},
un omeomorfismo esplicito f : Q → C è
f(P) = (|P| / ||P||)P
con inverso
f‾¹(P) = (||P|| / |P|)P
In termini di coordinate cartesiane
f(x, y) = ( (|x| + |y|)x/√(x² + y²), (|x| + |y|)y/√(x² + y²) )
f‾¹(x, y) = ( √(x² + y²)x/(|x| + |y|), √(x² + y²)y/(|x| + |y|) )
Le restrizioni di questi omemomorfismi ai bordi di C e Q sono omeomorfsimi espliciti tra la circonferenza e il quadrato visto come unione dei lati:
f(x, y) = ( x/√(x² + y²), y/√(x² + y²) )
f‾¹(x, y) = ( x/(|x| + |y|), y/(|x| + |y|) )