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Vamos lá.

Tem-se a seguinte inequação:

(x² - 2x - 3) / (x - 2) ≤ 0

Veja temos aí o quociente entre duas funções, cujo resultado final tem que ser MENOR ou IGUAL a zerp. No numerador temos: temos f(x) =, x²-2x-3 e no denominador, temos g(x) = x - 2.

Vamos encontrar as raízes de cada uma delas e, depois, vamos analisar a variação de seus sinais e, em consequência, encontrar o domínio da inequação originalmente dada, que é f(x)/g(x) ≤ 0.

Vamos às raízes:

f(x) = x²-2x-3 ---> raízes: x²-2x-3 = 0 ---> x' = x' = -1; x'' = 3

g(x) = x - 2 ---> raízes: x - 2 = 0 ---> x = 2.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações acima, em função de suas raízes. Assim:

a) f(x) = x²-2x-3 ...++++++-(-1)- - - - - - - - - (3)+++++++++++++

g(x) = x - 2 .........- - - - - - - - - - - - - (2)++++++++++++++++++++

c) a/b .................- - - - - - - -(-1)+++(2)- - - - (3)++++++++++++++

Como queremos que o quociente f(x)/g(x) seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal menos no item "c" acima, que nos fornece o resultado final da divisão de uma função pela outra.

Assim, os intervalos para a resposta (o domínio da inequação dada) são estes:

x ≤ -1, ou: 2 < x ≤ 3

Aí você pergunta: por que temos "x" menor ou igual a (-1), temos "x" menor ou igual a "3" e temos "x" apenas maior do que "2"? Resposta: porque "2" é raiz do denominador e denominador nenhum pode ser zero (toda raiz zera a equação da qual ela é raiz). Se fôssemos considerar que "x" pudesse ser maior ou IGUAL a "2", iríamos zerar o denominador e isto não existe. Por isso é que colocamos que "x" só pode ser MAIOR do que "2" (nunca maior ou igual). .

Se quiser, você poderá apresentar o domínio da inequação assim:

S = {x ∈ R / x ≤ -1, ou 2 < x ≤ 3} ------ [Tradução: "S" é o conjunto dos "x" pertencentes aos Reais, tal que "x" é menor ou igual a (-1), ou "x" é maior do que "2" e menor ou igual a "3"].

Finalmente, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado assim, o que é a mesma coisa:

S = (-∞; -1] U (2; 3] .

É isso aí..

OK?

Adjemir.

x≤-1≥3