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Hola

función

f(x) = tan(x)

1)

Función cuando x se incrementa en h = Δx

f(x + h) = tan(x + h)

f(x + h) = (tan(x) + tan(h))/(1 - tan(x) tan(h))

2)

Incremento de la función

cuando x se incrementa en h = Δx

Δf = f(x + h) - f(x)

Δf = ((tan(x) + tan(h))/(1 - tan(x) tan(h))) - tan(x)

Δf = ((tan(x) + tan(h))/(1 - tan(x) tan(h))) -

- (tan(x) (1 - tan(x) tan(h))/(1 - tan(x) tan(h))

Δf = ((tan(x) + tan(h))/(1 - tan(x) tan(h))) -

- ( (tan(x) - tan^2(x) tan(h))/(1 - tan(x) tan(h) )

Δf = ((tan(x) + tan(h) - tan(x) + tan^2(x) tan(h))/( 1 - tan(x) tan(h) )

Δf = (tan(h) + tan^2(x) tan(h))/( 1 - tan(x) tan(h) )

Δf = tan(h) (1 + tan^2(x))/( 1 - tan(x) tan(h) )

3) Cociente incremental para h = Δx

Δf/Δx = (tan(h)/h) (1 + tan^2(x))/( 1 - tan(x) tan(h) )

4) Derivada : Límite de cociente incremental cuando h -> 0

f'(x) = Lim [h->0] Δf/Δx

f'(x) = Lim [h->0] (tan(h)/h) (1 + tan^2(x))/( 1 - tan(x) tan(h) )

Separamos los límites

f'(x) = Lim [h->0] (sen(h)/h) *

* Lim [h->0] (1/cos(h)) *

* Lim [h->0] (1 + tan^2(x))/( 1 - tan(x) tan(h) )

Resulta

f'(x) = 1 * (1/1) * (1 + tan^2(x))/(1 - tan(x)*tan(0))

f'(x) = (1 + tan^2(x))/(1 - tan(x)*(0))

f'(x) = 1 + tan^2(x)

***********************

Por trigonometría, esto es equivalente a

f'(x) = sec^2(x) = 1/cos^2(x)

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se define la derivada de una función en un punto como

f'(a)=lim(h-->0) f(a+h)-f(a)/h

f'(a)>0-->f es creciente en x=a

f'(a)<0-->f es decreciente en x=a

Entonces la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente en dicho punto