¿Demuestra la siguiente proposición (algebra lineal)?
Sean K,W subespacios vectoriales de V.
SI K es mínimo espacio vectorial con la propiedad de que la suma directa de K y W es igual a V, entonces, la intersección de K y W es el vector 0.
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Answers & Comments
Hola
K mínimo significa
que no existe otro espacio
de orden menor a n
que cumpla
K ㊉ W = V
K ㊉ W = V
K de orden n
W de orden m
entonces
K + W es de orden n+m
Además, V se puede representar
de UNA SOLA manera
como suma de vectores, uno de K y otro de W
Recordamos que, por ser K, W subespacios,
el vector 0 pertenece a ambos.
Supongamos que exista un vector vo distinto de 0
que pertenezca a ambos K y W
vo ∈ K ∩ W
Por lo tanto
vo ∈ K y vo ∈ W
Entonces
vo + 0 = vo pertenece a V
porque
vo ∈ K y 0 ∈ W
También
0 + vo = vo pertenece a V
porque
0 ∈ K y vo ∈ W
Pero entonces, contra la hipótesis,
tenemos DOS representaciones
del elemento vo ∈ V
vo = 0 + vo = vo + 0
con vectores de K ; W
Entonces, el único vector común a K;W es 0
Saludos