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Hola

Interesante.

Para la parábola

y = x^2

con derivada

y' = 2x ,

la recta tangente en el punto (xo,yo) es

y - yo = (2 xo) (x - xo)

y - xo^2 = 2 xo x - 2 xo^2

y = 2 xo x - xo^2

*********************

Para la hipérbola

y = 1/x

con derivada

y' = -1/x^2 ,

la recta tangente en el punto (x1,y1) es

y - y1 = (-1/x1^2) (x - x1)

y - (1/x1) = (-1/x1^2) x + (1/x1)

y = (-1/x1^2) x + (2/x1)

***************************

Identificamos los elementos comunes

Pendiente

2 xo = -1/x1^2

xo x1^2 = -1/2

Ordenada al origen

- xo^2 = 2/x1

xo^2 x1 = -2

Si dividimos

x1/xo = 1/4

xo = 4 x1

Entonces

4 x1 x1^2 = -1/2

x1^3 = -1/8

x1 = -1/2

***************

xo = 4 x1

xo = -2

***************

Elementos de de la recta tangente común

Pendiente

m = 2 xo = -1/x1^2= -4

Ordenada al origen

b = - xo^2 = 2/x1 = -4

Tangente común

y = -4 x - 4

Puntos de contacto

Parábola

y = x^2

xo = -2 ; yo = -4

Hipérbola

y = 1/x

x1 = -1/2 ; y1 = -2

Saludos