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Hola

Coordenadas esféricas

ρ^2 = x^2 + y^2 + z^2

sen(θ) = z/ρ

tan(φ) = y/x

x = ρ cos(φ) cos(θ)

y = ρ sen(φ) cos(θ)

z = ρ sen(θ)

**********************

Coordenadas cilíndricas

ρ^2 = x^2 + y^2

tan(φ) = y/x

z = z

x = ρ cos(φ)

y = ρ sen(φ)

z = z

**********************

1) x^2+y^2+z^2=2y

Coordenadas esféricas

ρ^2 = 2 ρ sen(φ) cos(θ)

ρ = 2 sen(φ) cos(θ)

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Coordenadas cilíndricas

ρ^2 + z^2 = 2 ρ sen(φ)

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2) x^2+y^2=2

Coordenadas esféricas

ρ^2 sen^2(θ) = 2

ρ sen(θ) = raiz(2)

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Coordenadas cilíndricas

ρ^2 = 2

ρ = raiz(2)

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3) x+y+z=10

Coordenadas esféricas

ρ cos(φ) cos(θ) + ρ sen(φ) cos(θ) + ρ sen(θ) = 10

ρ = 10/(cos(φ) cos(θ) + sen(φ) cos(θ) + sen(θ))

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Coordenadas cilíndricas

ρ cos(φ) + ρ sen(φ) + z = 10

ρ = (10 - z)/(cos(φ) + sen(φ))

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Vaya, veo que no te apetece hacer tus tareas escolares, prefieres escribir preguntas aquí para pedir que te las hagan. Eres lista y haces bien. ¿Por qué esforzarse y dedicarse a estudiar, habiendo aquí unos cuantos ingenuos que van a trabajar para ti graciosamente? ….. Di que sí, tú a lo tuyo: túmbate en el sofá de tu casa, conéctate a tu juego favorito y deja las tareas para que te las resuelvan en Yahoo!Respuestas. Verás que en poco tiempo, alguno de estos habituales:

Emmanuel

Antton

Manu

Angélica Magdalena

Railrule

Maria Eugenia

Jesús

Fisico1954

Dinis

Eduardo I

Nina

…o cualquier otro usuario experto en Matemáticas te ha dado la solución, así que ¿para qué trabajar o pensar, si hay otros dispuestos a hacerlo para ti? Has hecho muy bien, tienes todo el derecho a que los demás te hagan tus deberes escolares mientras tú te diviertes. Vuelve siempre que tengas más tareas; esos usuarios siempre estarán ahí dispuestos a ahorrarte esfuerzos.

(1) : x² + y² + z² = 2y

(2) : x² + y² = 2

(3) : x + y + z = 10 → (3') : z = 10 - x - y

(x + y + z)² = (x + y + z).(x + y + z)

(x + y + z)² = x² + xy + xz + xy + y² + yz + xz + yz + z²

(x + y + z)² = (x² + y² + z²) + 2.(xy + xz + yz) → recall (3)

10² = (x² + y² + z²) + 2.(xy + xz + yz) → recall (1)

100 = 2y + 2.(xy + xz + yz)

50 = y + xy + xz + yz

50 = y + xy + z.(x + y) → recall (3')

50 = y + xy + (10 - x - y).(x + y)

50 = y + xy + 10x + 10y - x² - xy - xy - y²

50 = 10x + 11y - xy - x² - y²

50 = 11y + 10x - xy - (x² + y²) → recall (2)

50 = 11y + 10x - xy - 2

52 = 11y + 10x - xy

11y - xy = 52 - 10x

y.(11 - x) = 52 - 10x

y = (52 - 10x)/(11 - x)

You restart from (2)

x² + y² = 2

y² = 2 - x² → recall the y above

(52 - 10x)²/(11 - x)² = 2 - x²

(52 - 10x)² = (2 - x²).(11 - x)²

2704 - 1040x + 100x² = (2 - x²).(121 - 22x + x²)

2704 - 1040x + 100x² = 242 - 44x + 2x² - 121x² + 22x³ - x⁴

x⁴ - 22x³ + 219x² - 996x + 2462 = 0 → it' necessary eliminate x³

x⁴ - 22x³ + 219x² - 996x + 2462 = 0 → let: x = w + (11/2)

[w + (11/2)]⁴ - 22.[w + (11/2)]³ + 219.[w + (11/2)]² - 996.[w + (11/2)] + 2462 = 0

[w + (11/2)]².[w + (11/2)]² - 22.[w + (11/2)]².[w + (11/2)] + 219.[w² + 11w + (121/4)] - 996w - 5478 + 2462 = 0

[w² + 11w + (121/4)].[w² + 11w + (121/4)] - 22.[w² + 11w + (121/4)].[w + (11/2)] + 219w² + 2409w + (26499/4) - 996w - 3016 = 0

[w⁴ + 11³w + (121/4).w² + 11w³ + 121w² + (1331/4).w + (121/4).w² + (1331/4).w + (14641/16)] - 22.[w³ + (33/2).w² + (363/4).w + (1331/8)] + 219w² + 1413w + (14435/4) = 0

[w⁴ + 22³w + (726/4).w² + (2662/4).w + (14641/16)] - 22w³ - 363w² - (3993/2).w - (14641/4) + 219w² + 1413w + (14435/4) = 0

w⁴ + 22³w + (726/4).w² + (2662/4).w + (14641/16) - 22w³ - 363w² - (3993/2).w - (14641/4) + 219w² + 1413w + (14435/4) = 0

w⁴ + (75/2).w² + 82w + (13817/16) = 0 ← no term in x³

w⁴ = - (75/2).w² - 82w - (13817/16)

[w² + θ]² = w⁴ + 2w².θ + θ² → recall w⁴ above

[w² + θ]² = - (75/2).w² - 82w - (13817/16) + 2w².θ + θ² → you order

[w² + θ]² = 2w².θ - (75/2).w² - 82w + θ² - (13817/16) → you group

[w² + θ]² = [2θ - (75/2)].w² - 82w + θ² - (13817/16)

It will be interesting if the right side was a perfect square.

The right side is a perfect square if there is only one root, so when the discriminant is null.

At the right side, the polynomial like: aw² + bw + c, where:

a = 2θ - (75/2)

b = - 82

c = θ² - (13817/16)

Δ = b² - 4ac (discriminant)

Δ = (- 82)² - 4.[2θ - (75/2)].[θ² - (13817/16)]

Δ = 6724 - 4.[2θ - (75/2)].[θ² - (13817/16)] → and you want to have: Δ = 0

6724 - 4.[2θ - (75/2)].[θ² - (13817/16)] = 0

4.[2θ - (75/2)].[θ² - (13817/16)] = 6724

[2θ - (75/2)].[θ² - (13817/16)] = 1681

2θ³ - (13817/8).θ - (75/2).θ² + (1036275/16) = 1681

2θ³ - (13817/8).θ - (75/2).θ² + (1009379/16) = 0

θ³ - (13817/16).θ - (75/4).θ² + (1009379/32) = 0

With Cardan's method, we can get: θ ≈ - 33.981 → θ ≈ - 34

Recall:

[w² + θ]² = [2θ - (75/2)].w² - 82w + θ² - (13817/16) → we've just seen that: θ ≈ - 34

[w² - 33.981]² = 30.5w² - 82w + 292.5

You can see at the right side, that there are 2 complex roots.

w₁ = 1.34426 + 2.78982i

w₂ = 1.34426 - 2.78982i

Recall: x = w + (11/2)

x₁ = w₁ + (11/2) = 1.34426 + 2.78982i + (11/2) = - 5.15574 + 2.78982i

x₂ = w₂ + (11/2) = 1.34426 - 2.78982i + (11/2) = - 5.15574 - 2.78982i

Recall the equation (2): x² + y² = 2 → y² = 2 - x²

y₁ = 2 - x₁

y₂ = 2 - x₂

Recall the equation (3') : z = 10 - x - y

z₁ = 10 - x₁ - y₁

z₂ = 10 - x₂ - y₂