Hola
x^3 = 8 y x ≠ 2
Entonces como
x^3 - 8 = (x^2 + 2 x + 4) (x - 2)
y
x ≠ 2
tenemos que se debe cumplir
x^2 + 2 x + 4 = 0
x^2 = -2 x - 4
También deducimos
x^2 + 2 x + 1 = -3
(x + 1)^2 = -3
*******************
Para todo x
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = ((x + 1) - (x - 2)) *
* ((x + 1)^2 + (x + 1)(x - 2) (x - 2)^2)
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = (1 + 2) *
* (x^2 + 2 x + 1 + x^2 - x - 2 + x^2 - 4 x + 4)
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = 3 * (3 x^2 - 3 x + 3)
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = 9 * (x^2 - x + 1)
**********************************************
Para los x del problema
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = 9 * (-2 x - 4 - x + 1)
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = 9 * (-3 x - 3)
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = (-27) * (x + 1)
Entonces
[(x + 1)^3 - (x - 2)^3](x + 1) = (-27) * (x + 1)^2
Finalmente
para los x del problema
[(x + 1)^3 - (x - 2)^3](x + 1) = (-27) * (-3)
[(x + 1)^3 - (x - 2)^3](x + 1) = 81
****************************************
d)
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Answers & Comments
Hola
x^3 = 8 y x ≠ 2
Entonces como
x^3 - 8 = (x^2 + 2 x + 4) (x - 2)
y
x ≠ 2
tenemos que se debe cumplir
x^2 + 2 x + 4 = 0
x^2 = -2 x - 4
También deducimos
x^2 + 2 x + 1 = -3
(x + 1)^2 = -3
*******************
Para todo x
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = ((x + 1) - (x - 2)) *
* ((x + 1)^2 + (x + 1)(x - 2) (x - 2)^2)
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = (1 + 2) *
* (x^2 + 2 x + 1 + x^2 - x - 2 + x^2 - 4 x + 4)
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = 3 * (3 x^2 - 3 x + 3)
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = 9 * (x^2 - x + 1)
**********************************************
Para los x del problema
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = 9 * (-2 x - 4 - x + 1)
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = 9 * (-3 x - 3)
(x + 1)^3 - (x - 2)^3 = (-27) * (x + 1)
Entonces
[(x + 1)^3 - (x - 2)^3](x + 1) = (-27) * (x + 1)^2
Finalmente
para los x del problema
[(x + 1)^3 - (x - 2)^3](x + 1) = (-27) * (-3)
[(x + 1)^3 - (x - 2)^3](x + 1) = 81
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