Hola

Trata de agregar paréntesis

para saber hasta dónde son las raíces...

Semieje transverso

b = 4/2 = 2

Como es paralelo al eje x

se trata de una hipérbola vertical

Excentricidad (supongo)

e = c/a = √(13)/ 2

c = (1/2) √(13) a

Recordamos que, para una hipérbola

a^2 + b^2 = c^2

a^2 + 2^2 = ( (1/2) √(13) a)^2

a^2 + 4 = (13/4) a^2

(13/4)a^2 - a^2 = 4

(13/4)a^2 - (4/4) a^2 = 4

(9/4) a^2 = 4

a^2 = 4*4/9 = 16/9

Semieje real

a = 4/3

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Semieje focal

c = (1/2) √(13) a

c = (2/3) √(13)

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Para hipérbola vertical de centro (Xc,Yc)

tenemos la ecuación

(y - Yc)^2/a^2 - (x - Xc)^2/b^2 = 1

ó

b^2 (y - Yc)^2 - a^2 (x - Xc)^2 = a^2 b^2

(y - Yc)^2/(16/9) - (x - Xc)^2^2/4 = 1

ó

4 (y - Yc)^2 - (16/9) (x - Xc)^2 = 64/9

multiplicamos todo por 9/4 para simplificar

9 (y - Yc)^2 - 4 (x - Xc)^2 = 16

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Ahora usamos los puntos

x = -4 ; y = 1

9 (1 - Yc)^2 - 4 (-4 - Xc)^2 = 16

x = 1 ; y = 1 + 3 √(5/2)

9 (1 + 3 √(5/2) - Yc)^2 - 4 (1 - Xc)^2 = 16

Este sistema tiene las soluciones, con 4 decimales

Primera solución

Xc1 = 0.6803 ; Yc1 = 4.3932

con ecuación

9 (y - 4.3932)^2 - 4 (x - 0.6803)^2 = 16

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Segunda solución

Xc2 = -3.6803 ; Yc2 = 2.3503

con ecuación

9 (y - 2.3503)^2 - 4 (x + 3.6803)^2 = 16

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Ejercicio bastante verificado con Graphmatica.