¿Como se puede dividir un triangulo en tres partes de igual area con paralelas a un lado analiticamente?
Tengo este ejercicio pero nose como hacerlo de forma analitica
Los vértices de un triángulo son: A(18 ,0) ; B(6 ;12) y C(0 ;0). Hallar las ecuaciones de dos rectas paralelas al lado (AC) ̅, de manera que el triángulo quede dividido en tres partes de igual área, por estas rectas.
intente haciendo con ecuaciones pero no me sale ayuda porfavor
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Hola
Teorema de Thales.
trazando paralelas a distancia h
de la intersección de dos rectas.
Todos los lados formados por una paralela
son proporcionales
a la distancia de una línea fija pasante por la intersección
y cualquier paralela.
Por comodidad, tomamos la normal
a las distintas paralelas pasante por la intersección.
Entonces, todos los lados de los triángulos formados
son proporcionales a h,
distancia entre las líneas y la intersección.
Como el área del triángulo
con ángulo constante B
depende el producto de 2 lados
Area = (1/2) a c sen(B)
resulta ser que el área
es proporcional a h^2,
distancia entre las líneas y la intersección.
Area = k h^2
***************
Los vértices de un triángulo son:
A(18 ,0) ; B(6 ;12) y C(0 ;0).
Hallar las ecuaciones de dos rectas paralelas al lado (AC)
Ecuaciones
Lado AB
mAB = (12 - 0)/(6 - 18) = 12/-12 = -1
y = -(x -18)
y = 18 - x
ó
x = 18 - y
Lado AC
y = 0 (eje x)
Lado BC
mBC = 12/6 = 2
y = 2 x
ó
x = (1/2) y
Distancia desde B
Como el lado AC tiene ecuación
y = 0
la distancia desde B al lado AC es
yB = 12
El triángulo más pequeño T1
tiene 1/3 de área
así que su distancia desde B debe ser
h1 = 12 (√(1/3)) = 12/√3 = (4*3)/√3 = 4 √3
recta A1C1, paralela al eje x
y1 = 12 - 4 √3
vértices
xA1 = 18 - (12 - 4 √3) = 6 + 4 √3
A1 (6 + 4 √3 ; 12 - 4 √3)
xC1 = (1/2) (12 - 4 √3) = 6 - 2 √3
C1 (6 - 2 √3 ; 12 - 4 √3)
****************
El triángulo intermedio T2
tiene 2/3 de área
(así la diferencia con T1 es 1/3 de área)
así que su distancia desde B debe ser
h2 = 12 (√(2/3)) = 12 √2/√3 = (4*3)√2/√3 = 4 √2√3 = 4 √6
recta A2C2, paralela al eje x
y2 = 12 - 4 √6
vértices
xA2 = 18 - (12 - 4 √6) = 6 + 4 √6
A2 (6 + 4 √6 ; 12 - 4 √6)
xC2 = (1/2) (12 - 4 √6) = 6 - 2 √6
C2 (6 - 2 √6 ; 12 - 4 √6)
****************
Verificado con ayuda de Graphmatica
Saludos
y1 = 12(1 - √(1/3)).
= 12(√3 - 1)/√3
Multiplicando el numerador y el denominador por √3:
y1 = 12(3 - √3) / 3
= 4(3 - √3)
= 12 - 4√3
Del mismo modo
y2 = 12 - 4√6
En resumen:
y1 = 12 - 4√3
y2 = 12 - 4√6