Verified answer

Hola

recordamos las fórmulas de ángulo doble

cos(x) = 2 cos^2(x/2) - 1

cos(x) = 1 - 2 sen^2(x/2)

deducimos

1 + cos(x) = 2 cos^2(x/2)

1 - cos(x) = 2 sen^2(x/2)

(2 sen^2(x/2)) / (2 cos^2(x/2)) = (1 - cos(x))/(1 + cos(x))

( sen(x/2) / cos(x/2) )^2 = (1 - cos(x))/(1 + cos(x))

1) tan^2(x/2) = (1 - cos(x))/(1 + cos(x))

*******************************************

Si remplazamos

x por x + (π/2)

debemos remplazar

x/2 por (x/2) + (π/4)

tan^2((x/2) + (π/4)) = (1 - cos(x + (π/2)))/(1 + cos(x + (π/2)))

2) tan^2((x/2) + (π/4)) = (1 + sen(x))/(1 - sen(x))

****************************************************

Ahora sí....

ʃ(1 + sen(x)) dx /(1 - sen(x)) = ʃ tan^2((x/2) + (π/4)) dx

recordamos que

tan^2(a) = sec^2(a) - 1

ʃ(1 + sen(x)) dx /(1 - sen(x)) = ʃ sec^2((x/2) + (π/4)) dx -

- ʃ dx

ʃ(1 + sen(x)) dx /(1 - sen(x)) = 2 ʃ sec^2((x/2) + (π/4)) d((x/2) + (π/4)) -

- ʃ dx

Hemos llegado a integrales elementales

ʃ(1 + sen(x)) dx /(1 - sen(x)) = 2 tan((x/2) + (π/4)) - x + C

******************************************************************

LLevemos a otras formas por medio de 2)

tan^2((x/2) + (π/4)) = (1 + sen(x))/(1 - sen(x))

tan^2((x/2) + (π/4)) = [(1 + sen(x)(1 - sen(x))]/(1 - sen(x))^2

tan^2((x/2) + (π/4)) = (1 - sen^2(x))/(1 - sen(x))^2

tan^2((x/2) + (π/4)) = (cos^2(x))/(1 - sen(x))^2

para x en el primer cuadrante ((x/2) + (π/4)) también

Todos los signos son positivos luego de raíz cuadrada

3)tan((x/2) + (π/4)) = cos(x)/(1 - sen(x))

también

tan^2((x/2) + (π/4)) = (1 + sen(x))^2/[(1 - sen(x)(1 + sen(x))]

tan^2((x/2) + (π/4)) = (1 + sen(x))^2/(1 - sen^2(x))

tan^2((x/2) + (π/4)) = (1 + sen(x))^2/(cos^2(x))

Las mismas circunstancias que 3)

4) tan((x/2) + (π/4)) = (1 + sen(x))/cos(x)

Usamos 4)

ʃ(1 + sen(x)) dx /(1 - sen(x)) = 2 (1 + sen(x))/cos(x) - x + C

ʃ(1 + sen(x)) dx /(1 - sen(x)) = (2 + 2 sen(x) - x cos(x))/cos(x) + C

************************************************************************

He verificado el resultado de la integración

por medio del software gratuito Graphmatica.

Saludos