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Hola

como 102 está cerca de 100 = 10^2

suponemos logaritmos decimales en el ejercicio

Para Taylor

tratamos logaritmos neperianos

que tienen derivadas inmediatas

y = ln(1 + x)

yo = ln(1) = 0

y' = 1/(1 + x) = (1 + x)^-1

y'o = (1 + 0)^-1 = 1

y'' = (-1) (1 + x)^-2

y''o = (-1)

y''' = (-1)(-2) (1 + x)^-3

y'''o = (-1)^2 * 1 * 2

y'''' = (-1)(-2)(-3) (1 + x)^-4

y''''o = (-1)^3 * 1 * 2 * 3

etc

ln(1 + x) = 0 + 1 x + (-1)/2 x^2 + (1*2)/(1*2*3) x^3 - ...

ln(1 + x) = x - (1/2) x^2 + (1/3) x^3 - ....

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Una propiedad de los logaritmos

para cambio de base

nos permite establecer que

log(1 + x) = log(e) * ln(1 + x) = 0.4343 * ln(1 + x)

log(102) = log(100 * 1.02)

log(102) = log(100) + log(1.02)

log(102) = 2 + 0.4343 (0.02 - (1/2) 0.02^2 + (1/3) 0.02^3 + ....)

Con 5 decimales

log(102) = 2 + 0.00868 - 0.00008 + ...

log(102) = 2.00860

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Saludos