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Hola

Nombramos los puntos

A(4,1,0) B(2,-3,4) C(1,0,0)

Por cada segmento entre 2 puntos de la esfera

tenemos un plano mediatriz

que pasa por el punto medio y es normal al segmento.

Esto nos da 3 planos mediatrices

que se cortarán en el centro

ó, en este caso,

en una recta que contiene al centro.

Esta línea pasa por el circuncentro del triángulo ABC

Plano mediatriz de AB

medio de AB = ( 3 , -1 , 2)

dirección del segmento

(4 - 2 , 1 - (-3) , 0 - 4) = (2 , 4 , -4)

Ecuación del plano mediatriz de AB

2 x + 4 y - 4 z = 2 (3) + 4 (-1) - 4(2)

2 x + 4 y - 4 z = 6 - 4 - 8 = -6

1) x + 2 y - 2 z = -3

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Plano mediatriz de AC

medio de AB = ( 5/2 , 1/2 , 0)

dirección del segmento

(4 - 1 , 1 - 0 , 0 - 0) = (3 , 1 , 0)

Ecuación del plano mediatriz de AC

3 x + 1 y + 0 z = 3 (5/2) + 1 (1/2) + 0(0)

3 x + y = 15/2 + 1/2 = 16/2

2) 3 x + y = 8

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recta donde está el centro

de 2)

y = 8 - 3 x

de 1)

z = (3/2) + (1/2) x + y

z = (3/2) + (1/2) x + 8 - 3 x

z = (19/2) - (5/2) x

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Ecuación recta de centros

x = 2 t

y = 8 - 6 t

z = (19/2) - 5 t

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radio desde un centro con parámetro t

Distancia desde A

R^2 = (2 t - 4)^2 + (8 - 6 t - 1)^2 + ((19/2) - 5 t)^2

R^2 = (2 t - 4)^2 + (- 6 t + 7)^2 + ( -5 t + 9.5)^2

R^2 = 4 t^2 - 16 t + 16 + 36 t^2 - 84 t + 49 + 25 t^2 - 95 t + 90.25

R^2 = 65 t^2 - 195 t + 155.25

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Distancia desde B

R^2 = (2 t - 2 )^2 + (8 - 6 t - (-3) )^2 + ((19/2) - 5 t - 4)^2

R^2 = (2 t - 2)^2 + (- 6 t + 11)^2 + ( -5 t + 5.5)^2

R^2 = 4 t^2 - 8 t + 4 + 36 t^2 - 132 t + 121 + 25 t^2 - 55 t + 30.25

R^2 = 65 t^2 - 195 t + 155.25

************************************

Distancia desde C

R^2 = (2 t - 1)^2 + (8 - 6 t )^2 + ((19/2) - 5 t)^2

R^2 = (2 t - 1)^2 + (- 6 t + 8)^2 + ( -5 t + 9.5)^2

R^2 = 4 t^2 - 4 t + 1 + 36 t^2 - 96 t + 64 + 25 t^2 - 95 t + 90.25

R^2 = 65 t^2 - 195 t + 155.25

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Hemos verificado

que la línea encontrada

es línea de centro de esferas que pasan por A,B,C

Ahora, distancia desde plano tangente,

que será el radio de la esfera tangente

Ptan

2 x + 2 y - z = 11

Dist(Ptan) = abs(2 x + 2 y - z - 11)/√((2)^2+(2)^2+(-1)^2)

Dist(Ptan) = abs(2 x + 2 y - z - 11)/√(4+4+1)

Dist(Ptan) = abs(2 x + 2 y - z - 11)/√(9)

Dist(Ptan) = abs(2 x + 2 y - z - 11)/3

Distancia desde la línea de centros

que es el radio de la esfera tangente

x = 2 t

y = 8 - 6 t

z = (19/2) - 5 t

Dist(Ptan) = abs(2 (2 t) + 2 (8 - 6 t) - (9.5 - 5 t) - 11)/3

Dist(Ptan) = abs(4 t + 16 - 12 t - 9.5 + 5 t - 11)/3

Dist(Ptan) = abs(-3 t - 4.5 )/3

Dist(Ptan) = abs(- t - 1.5 )

Dist(Ptan) = abs(t + 1.5)

Ahora podemos plantear

R^2 = Dist^2(Ptan) = (-t - 1.5)^2 = 65 t^2 - 195 t + 155.25

t^2 + 3 t + 2.25 = 65 t^2 - 195 t + 155.25

64 t^2 - 198 t + 153 = 0

FÓRMULA ECUACIÓN CUADRÁTICA

t₁;t₂ = { -(b) ± √[(b)² - 4(a)(c)] }/(2(a))

t₁;t₂ = { -(-198) ± √[(-198)² - 4(64)(153)] }/(2(64))

t₁;t₂ = { 198 ± √[2^2*9^2*11^2 - 4*64*9*17)] }/(128)

t₁;t₂ = { 198 ± 2*3√[9*11^2 - 64*17)] }/(128)

t₁;t₂ = { 99 ± 3√[1089 - 1088)] }/(64)

t₁;t₂ = { 99 ± 3√[1)] }/(64)

t₁;t₂ = { 99 ± 3] }/(64)

Dos valores

Valor 1

t1 = (99-3)/64 = 96/64 = 3/2

Centro 1

x = 2*(3/2) = 3

y = 8 - 6 t = 8 - 6*(3/2) = 8 - 9 = -1

z = 9.5 - 5*1.5 = 9.5 - 7.5 = 2

Centro 1 (3;-1;2)

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Radio 1

R1 = abs(t + 1.5) = abs(1.5 + 1.5) = 3

R1 = 3

**********

Ecuación de esfera 1

(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 3^2

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Valor 2

t2 = (99+3)/64 = 102/64 = 51/32

Centro 2

x = 2*(51/32) = 51/16

y = 8 - 6 t = 8 - 6*(51/32) = (128/16) - (153/16) = -25/16

z = (19/2) - 5*(51/32) = (304/32) - (255/32) = 49/32

Centro 2 (102/32 ; -50/32 ; 49/32)

***************************************

Radio 2

R2 = abs(t + (3/2)) = abs((51/32) + (48/32)) = 99/32

R2 = 99/32

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Ecuación de esfera 2

(x - (102/32))^2 + (y + (50/32))^2 + (z - (49/32))^2 = (99/32)^2

ó

(32 x - 102)^2 + (32 y + 50)^2 + (32 z - 49)^2 = 99^2

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Verificado con 3Dgrapher

Saludos