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pour calculer un limite, il faut définir la valeur vers laquelle on veut calculer la limite en général c'et le bout du domaine de définition.

ici cette intégrale est définit, c'est donc plutot la valeur de l'intégrale que tu calcules,

tu as bien calculé la primitive , il faut toutefois faire attention au cas n négatif

la valeur résultante est la valeur de la primitive pour t=1 soit 1/n+1 moins la valeur pour t=0

t^(n+1) / (n+1) est bien une primitive de t^n

Cependant, l'intégrale est la différence de la primitive entre les deux bornes d'intégration. Dans ce cas, on prend la valeur de la primitive en 1 : 1^(n+1) / (n+1) = 1/(n+1), et on lui soustrait la valeur de la primitive en zéro : 0^(n+1) / (n+1) = 0

L'intégrale de t^n entre 0 et 1 vaut donc bien 1/(n+1), qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

étant donné l'énoncer, je pense que tu es en lycée, donc je vais utiliser des outils de lycéen.

ton calcul est juste. une primitive est bien celle que tu as calculé (rappelle: une primitive n'est pas unique, quand t'en as une, tu peux y ajouter ou retrancher n'importe quel nombre, et tu obtiens une autre primitive)

tu as juste oublié la dernière étape: pour calculer l'intégrale entre a et b (qui est l'aire sous la courbe), il faut que tu fasse la différence entre la primitive évalué en b et celle évalué en a.

en clair: si F est une primitive de f, l'intégrale de f entre a et b est F(b)-F(a).

dans ton cas, F(1)=1^(n+1)/(n+1)=1/(n+1) et F(0)=0^(n+1)/(n+1)=0 pour toutes les valeurs de n entières positives. vu que j'ai décidé que tu étais au lycée (dis le si c'est faux), n est entier positif. autrement, c'est plus compliqué, et il faut différencier les cas ou n n'est entier négatif, et ou n n'est pas entier.

après, pour la limite, je te laisse trouver, c'est pas compliqué

La limite, j'imagine que c'est quand n tend vers +oo.

Tu t'arrêtes au calcul de la primitive alors qu'il faut calculer l'intégrale, en plus ton encadrement peut être réduit.

0 ≤ t ≤ 1

1 ≤ t+1 ≤ 2

1/1 ≥ 1/(t+1) ≥ 1/2

(1/2)*t^n ≤ t^n / (t+1) ≤ t^n

∫ t^n .dt = [ t^(n+1) / (n+1) ] avec t entre 0 et 1

∫ t^n .dt = [ 1^(n+1) / (n+1) - 0^(n+1) / (n+1) ] = 1/(n+1)

donc

(1/2) * 1/(n+1) ≤ ∫ t^n / (t+1) dt ≤ 1/(n+1)

Nous avons ensuite :

lim 1/(n+1) = 0

n --> +oo

Comme ∫ t^n / (t+1) dt (pour t allant de 0 à 1) est encadrée par deux suites de n qui tendent vers 0, alors ∫ t^n / (t+1) dt tends vers 0 quand n tend vers +oo.

si F(t)=t^(n+1)/(n+1) , l'intégrale est F(1)-F(0)=1/(n+1) en effet .

0<I<1/(n+1) => lim I=0 si n->+00