Vamos lá.

Pede-se o valor da seguinte expressão, que vamos igualá-la a um certo "E" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa e sabendo-se que cos(x) = 1/2 e que o arco "x" está no intervalo: 0 < x < π/2 (veja que este intervalo é do 1º quadrante, local em que todas as funções trigonométricas são positivas):

E = [cossec(x) - sen(x)] / [sec(x) - cos(x)]

Como cos(x) = 1/2, e estando no 1º quadrante, então x = 60º.

Ora, no 1º quadrante, se cos(60º) = 1/2, então sen(x) = sen(60º) = √(3)/2.

Ambos são positivos, pois, no 1º quadrante, como já vimos, todas as funções trigonométricas são positivas.

Agora veja: como já sabemos os valores de sen(x) e de cos(x), que são sen(60º) e cos(60º), vamos calcular qual é o valor da cossec(x) e da sec(x). Veja que:

cossec(x) = 1/sen(x). Então:

cossec(60º) = 1/sen(60º) ----- substituindo sen(60º) por seu valor, temos:

cossec(60º) = 1/[√(3)/2] , ou o que é a mesma coisa:

cossec(60º) = 2/√(3) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(3), ficando:

cossec(60º) = 2√(3)/√(3)*√(3)

cossec(60º) = 2√(3)/3 <--- Este é o valor de cossec(60º).

E, finalmente, veja que sec(x) = 1/cos(x). Assim:

sec(60º) = 1/cos(60º) ---- substituindo cos(60º) por seu valor, temos:

sec(60º) = 1/(1/2) ---- veja que isto é a mesma coisa que:

sec(60º) = 2/1 , ou apenas:

sec(60º) = 2 <--- Este é o valor de sec(60º).

Agora que já temos os valores de todas as funções envolvidas na nossa expressão "E", vamos fazer as devidas substituições.

E = [2√(3)/3 - √(3)/2] / [2 - 1/2] ----- mmc, no numerador, é igual a "6"; e no denominador é igual a "2". Assim, utilizando-os, teremos:

E = [2*2√(3) - 3*√(3)]/6 / [2*2 - 1*1]/2

E = [4√(3) - 3√(3)/6 / [4 - 1]/2

E = [√(3)]/6 / [3]/2 --- ou apenas:

E = (√(3)/6) / (3/2) ----- desenvolvendo esta divisão de frações, temos:

E = (√(3)/6)*(2/3)

E = 2*√(3)/ 6*3

E = 2√(3) / 18 ---- dividindo numerador e denominador por "2", ficaremos apenas com:

E = √(3) / 9 <--- Esta é a resposta.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.

Ola carol

(cossec x - sen x)/(sec x - cos x) = cotg³(x)

cos(x) = 1/2

sen(x) = √3/2

cot(x) = cos(x)/sen(x) = √3/3

cot³(x) = 3√3/27 = √3/9

pronto