¿Buenas noches, y les doy mil gracias por la ayuda!?

May 2021 8 76 Report

¿Buenas noches, y les doy mil gracias por la ayuda!?

Sean x, y, z enteros no negativos tales que x + y + z = 12. ¿ Cual es el valor mas grande de la suma xyz + xy + yz + zx?

a) 62

b) 72

c) 92

d) 102

e) 112

Ciencias y matemáticas / Matemáticas

railrule

Hola

Primero, desigualdad entre media geométrica y aritmética

(x y z)^(1/3) >= (x + y + z)/3

En este caso

(x y z)^(1/3) >= (12)/3

(x y z)^(1/3) >= 4

Si tomamos los inversos 1/(x y z)^(1/3) <= 1/4

x y z >= 4^3

a) x y z >= 64

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Segundo, desigualdad entre media geométrica y armónica

(x y z)^(1/3) >= 3/((1/x) + (1/y) + (1/z))

3/((1/x) + (1/y) + (1/z)) <= (x y z)^(1/3)

1/((1/x) + (1/y) + (1/z)) <= (x y z)^(1/3) / 3

Tomamos los inversos

((1/x) + (1/y) + (1/z)) >= 3 / (x y z)^(1/3)

Con los datos

b) ((1/x) + (1/y) + (1/z)) >= 3/4

Multiplicamos a) b)

x y + x z + y z >= (64) * (3/4)

x y + x z + y z >= 16 * 3

c) x y + x z + y z >= 48

Sumamos a) c)

x y z + x y + x z + y z >= 64 + 48

d) x y z + x y + x z + y z >= 112

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Respuesta e)

Recordamos que la igualdad se da

sólo cuando x = y = z

Saludos

Maria

Así, por pura experiencia intuitiva, pero que es fácil de demostrar, he recordado que el producto de diversos números con suma fija es máximo cuando estos números son iguales.

Por lo tanto he probado 4, 4, 4

Y como que el resultado es 112, que es el máximo de los propuestos, no hay más que pensar.

El álgebra el análisis son unas herramientas muy poderosas y, sobre todo, generales.

Pero en ocasiones hay otros razonamientos más informales que pueden ser más rápidos. Para gran desespero de mis profesores de matemáticas de secundaria, los acostumbraba a usar…