Hola

x^3y'''+x^2y''-2xy'+2y=2x^4

debemos hacer el cambio de variables de x a t

con la fórmula

x = e^t

Deducimos

dx = e^t dt = x dt

dx/dt = x

***********

Queda

dy/dt = dy/dx * dx/dt

dy/dt = x y'

****

x y' = dy/dt

********

d^2y/dt^2 = d(dy/dt)/dt

d^2y/dt^2 = d(dy/dt)/dx * (dx/dt)

d^2y/dt^2 = d( x y' )/dx * x

d^2y/dt^2 = x (y' + x y'')

d^2y/dt^2 = x y' + x^2 y''

d^2y/dt^2 = dy/dt + x^2 y''

d^2y/dt^2 = x y' + x^2 y''

****

x^2 y'' = d^2y/dt^2 - dy/dt

*************

d^3y/dt^3 = d(d^2y/dt^2)/dt

d^3y/dt^3 = d(d^2y/dt^2)/dx * (dx/dt)

d^3y/dt^3 = d( x y' + x^2 y'' )/dx * x

d^3y/dt^3 = x ( y' + x y'' + 2 x y'' + x^2 y''')

d^3y/dt^3 = x y' + 3 x^2 y'' + x^3 y'''

****

d^3y/dt^3 = (dy/dt) + 3 ( d^2y/dt^2 - dy/dt ) + x^3 y'''

d^3y/dt^3 = 3 d^2y/dt^2 - 2 dy/dt + x^3 y'''

x^3 y''' = d^3y/dt^3 - 3 d^2y/dt^2 + 2 dy/dt

*************

Remplazamos en

x^3y''' + x^2y' - 2 x y' + 2 y = 2 x^4

(d^3y/dt^3 - 3 d^2y/dt^2 + 2 dy/dt) +

+ (d^2y/dt^2 - dy/dt) -

- 2 (dy/dt) + 2 y = 2 e^(4 t)

d^3y/dt^3 - 2 d^2y/dt^2 - dy/dt + 2 y = 2 e^(4 t)

Ahora, solución de homogenea

x^3 y''' + x^2 y' - 2 x y' + 2 y = 0

ó

d^3y/dt^3 - 2 d^2y/dt^2 - dy/dt + 2 y = 0

r^3 - 2 r^2 - r + 2 = 0

r^2 (r - 2) - (r - 2) = 0

(r^2 - 1) (r - 2) = 0

(r + 1) (r - 1) (r - 2) = 0

Soluciones

t = -1 ; +1 ; +2

Solución homogénea

yh = C1 e^(-t) + C2 e^t + C3 e^(2t)

ó

yh = C1 (1/x) + C2 x + C3 x^2

Es facil de verificar que

1/x ; x ; x^2

verifican

x^3 y''' + x^2 y' - 2 x y' + 2 y = 0

Saludos

Tu pregunta encierra una descomunal paradoja.

Haces una pregunta,... por tanto, no conoces la respuesta.

Pero dices que vas a dar 5 estrellas a la mejor respuesta.

Si no conoces la respuesta, ¿cómo diantres vas a saber cuál es la mejor?