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1/sin x + cos x / sin x = m

( 1 + cos x ) / sin x = m .......... Elevar al cuadrado

( 1 + cos x )^2 / sin^2 x = m^2 ................................ sin^ x = 1 - cos^2 x

( 1 + cos x )^2 / ( 1 - cos^2 x ) = m^2 ..................... 1 - cos^2 x = ( 1 + cos x )( 1 - cos x )

( 1 + cos x )^2 / ( 1 + cos x )( 1 - cos x ) = m^2 ........ cancela ( 1 + cos x )

( 1 + cos x ) / ( 1 - cos x ) = m^2 ............................ mult. por ( 1 + cos x ) and simplifica

1 + cos x = m^2 - m^2. cos x ................................ mueve términos con cos x, a la derecha

1 - m^2 = - cos x - m^2.cos x ................................. factoriza cos x

1 - m^2 = cos x ( - 1 - m^2 ) .................................. divide por ( -1 - m^2 )

1 - m^2

------------ = cos x ................................................... mult. num y den por ( -1 )

-1 - m^2

........... m^2 - 1

cos x = ------------

........... m^2 + 1

FIN

Hola

csc(x) = 1/sen(x)

cot(x) = cos(x)/sen(x)

csc(x) + cot(x) = (1 + cos(x))/sen(x) = m

Elevamos al cuadrado

(1 + cos(x))^2 = m^2 sen^2(x)

(1 + cos(x))^2 = m^2 (1 - cos^2(x))

1 + 2 cos(x) + cos^2(x) = m^2 - m^2 cos^2(x)

(1 + m^2) cos^2(x) + 2 cos(x) + (1 - m^2) = 0

Ecuación cuadrática con solución cos(x)

Discr = (2)^2 - 4 (1 + m^2) (1 - m^2)

Discr = (4) - 4 (1 - m^4)

Discr = 4 - 4 + 4 m^4

Discr = 4 m^4

Entonces

cos(x) = ( -2 +/- raiz( 4 m^4)) / (2 (1 + m^2))

cos(x) = ( -2 +/- 2 m^2) / (2 (1 + m^2))

cos(x) = (-2) (1 +/- m^2) / (2 (1 + m^2))

cos(x) = (-1) (1 +/- m^2) / (1 + m^2)

Dos soluciones

Primera

cos(x) = -1 (1 + m^2)/(1 + m^2)

cos(x) = -1 -> x = pi

pero este valor hace infinito cot(x) csc(x)

así que NO es válido

SE DESCARTA

Segunda (única solución)

cos(x) = (-1) (1 - m^2)/(1 + m^2)

cos(x) = (m^2 - 1)/(m^2 + 1)

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P.S.

Hay una igualdad intermedia

que explica mejor este resultado

Esta igualdad es

m = cot(x/2)

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con que se llega a

cos(x) = cos^2(x/2) - sen^2(x/2)

cos(x) = (cos^2(x/2) - sen^2(x/2)) / (cos^2(x/2) + sen^2(x/2))

cos(x) = [(cos^2(x/2)/sen^2(x/2)) - 1] / [(cos^2(x/2)/sen^2(x/2)) - 1]

cos(x) = (cot^2(x/2) - 1) / (cot^2(x/2) + 1)

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Ahora, sí, un poco más claro...

Hola,

cscx + cotx = m

escribamos el primer miembro en términos de senx, cosx:

(1 /senx) + (cosx /senx) = m

(1 + cosx) /senx = m

apliquemos la fórmula del ángulo medio cos²(x/2) = (1 + cosx) /2 de donde 1 + cosx =

2cos²(x/2):

2cos²(x/2) /senx = m

escribamos el argumento del denominador como:

2cos²(x/2) /sen[2(x/2)] = m

apliquemos la fórmula del ángulo doble sen(2θ) = 2senθ cosθ:

2cos²(x/2) /[2sen(x/2) cos(x/2)] = m

simplifiquemos:

cos(x/2) /sen(x/2) = m

es decir:

cot(x/2) = m

y luego:

tan(x/2) = 1 /cot(x/2) = 1 /m

en fin apliquemos la fórmula de la tangente del ángulo medio cosx = [1 - tan²(x/2)] /[1 +

tan²(x/2)]:

cosx = [1 - tan²(x/2)] /[1 + tan²(x/2)] = [1 - (1 /m)²] /[1 + (1 /m)²] =

[1 - (1 /m²)] /[1 + (1 /m²)] =

[(m² - 1) /m²] /[(m² + 1) /m²] =

[(m² - 1) /m²] [m² /(m² + 1)] =

(simplificando)

(m² - 1) /(m² + 1)

en conclusión:

cosx = (m² - 1) /(m² + 1)

espero que sea de ayuda

¡Saludos!