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Hola,

escribamos la integral como:

∫ 3x² [√(2 - x²)] x dx =

pongamos (todo el radical):

√(2 - x²) = t

2 - x² = t²

- x² = - 2 + t²

x² = 2 - t²

(diferenciando ambos miembros)

d(x²) = d(2 - t²)

2x dx = - 2t dt

x dx = - t dt

sustituyendo, obtenemos:

∫ 3x² [√(2 - x²)] x dx = ∫ 3 (2 - t²) t (- t) dt =

(desarrollando)

∫ (- 3t²)(2 - t²) dt =

∫ (- 6t² + 3t⁴) dt =

(partiendo en dos integrales y sacando las constantes)

- 6 ∫ t² dt + 3 ∫ t⁴ dt =

- 6 [1/(2+1)] t^(2+1) + 3 [1/(4+1)] t^(4+1) + C =

- 6(1/3)t³ + 3(1/5)t⁵ + C =

- 2t³ + (3/5)t⁵ + C =

[(- 10t³ + 3t⁵)/5] + C =

[t³ (- 10 + 3t²)/5] + C =

(1/5)t³ (3t² - 10) + C

sustituyamos de nuevo √(2 - x²) a t:

(1/5)[√(2 - x²)³] [3√(2 - x²)² - 10] + C =

(1/5)[√(2 - x²)³] [3(2 - x²) - 10] + C =

(1/5)[√(2 - x²)³] (6 - 3x² - 10) + C =

(1/5)[√(2 - x²)³] (- 3x² - 4) + C =

concluyendo con:

- (1/5)(3x² + 4) √(2 - x²)³ + C

espero haber sido de ayuda

¡Saludos!

se los pongo -> http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%283...

(pincha en show steps)

Mira te recomiendo mucho que utilices la siguiente pagina, se llama wolframalpha, búscala te resuelve todo.

suerte