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Hola

sustiituimos

x = u^12

cuando x -> 1 ; u -> 1

(x^(1/3) - 1) = u^4 - 1 = (u - 1) (u^3 + u^2 + u + 1)

(x^(1/4) - 1) = u^3 - 1 = (u - 1) (u^2 + u + 1)

Lim [ (x^(1/3) - 1)/(x^(1/4) - 1)] = Lim ((u^3+u^2+u+1)/(u^2+u+1))

...x->1..........................................u->1

Lim [ (x^(1/3) - 1)/(x^(1/4) - 1)] = ((1+1+1+1)/(1+1+1))

...x->1

Lim [ (x^(1/3) - 1)/(x^(1/4) - 1)] = 4/3

...x->1

Saludos

Hola,

lim {[x^(1/3) - 1] /[x^(1/4) - 1]} =

x→1

se trata de una forma indeterminada 0/0

consideremos la regla para la factorización de una diferencia de dos cubos a³ - b³ =

(a - b)(a² + ab + b²)

de donde, despejando (a - b):

a - b = (a³ - b³) /(a² + ab + b²)

ahora apliquemos esta última fórmula al numerador, poniendo a = x^(1/3) y b = 1:

lim { {{[x^(1/3)]³ - 1³} /{[x^(1/3)]² + [x^(1/3)](1) + 1²}} /[x^(1/4) - 1]} =

x→1

lim {{(x - 1) /[x^(2/3) + x^(1/3) + 1]} {1 /[x^(1/4) - 1]} =

x→1

lim {(x - 1) /{[x^(1/4) - 1] [x^(2/3) + x^(1/3) + 1]} } =

x→1

ahora multipliquemos numerador y denominador por [x^(1/4) + 1], obteniendo una diferencia de cuadrados en el denominador:

lim { {[x^(1/4) + 1] (x - 1)} /{[x^(1/4) + 1][x^(1/4) - 1] [x^(2/3) + x^(1/3) + 1]} } =

x→1

lim { {[x^(1/4) + 1] (x - 1)} /{{[x^(1/4)]² - 1²} [x^(2/3) + x^(1/3) + 1]} } =

x→1

lim { {[x^(1/4) + 1] (x - 1)} /{[x^(1/2) - 1] [x^(2/3) + x^(1/3) + 1]} } =

x→1

multipliquemos numerador y denominador por [x^(1/2) + 1], obteniendo de nuevo una diferencia de cuadrados en el denominador:

lim { {[x^(1/4) + 1][x^(1/2) + 1] (x - 1)} /{[x^(1/2) + 1][x^(1/2) - 1] [x^(2/3) + x^(1/3) + 1]} } =

x→1

lim { {[x^(1/4) + 1][x^(1/2) + 1] (x - 1)} /{ {[x^(1/2)]² - 1²} [x^(2/3) + x^(1/3) + 1]} } =

x→1

lim { {[x^(1/4) + 1][x^(1/2) + 1] (x - 1)} /{(x - 1) [x^(2/3) + x^(1/3) + 1]} } =

x→1

(simplificando)

lim { {[x^(1/4) + 1][x^(1/2) + 1]} /[x^(2/3) + x^(1/3) + 1]} =

x→1

(haciendo tender x a uno)

lim { {[(→1)^(1/4) + 1][(→1)^(1/2) + 1]} /[(→1)^(2/3) + (→1)^(1/3) + 1]} =

x→1

lim { {[(→1) + 1][(→1) + 1]} /[(→1) + (→1) + 1]} =

x→1

[(1 + 1)(1 + 1)] /(1 + 1 + 1) =

[2(2)] /3 =

4/3

espero haber sido de ayuda

¡Saludos!