Hola

La idea es recurrir a relaciones

y derivadas elementales

entre tangente y secante

Relación fundamental

sec^2(x) = 1 + tan^2(x)

Derivadas fundamentales

(tan(x))' = sec^2(x) = 1 + tan^2(x)

(sec(x))' = sec(x) tan(x)

Simbolizamos

( )^(n) a la derivada de orden n

Entonces

( tan(2x) )^(1) = 2 sec^2(2x)

( tan(2x) )^(1) = 2 (1 + tan^2(2x))

( tan(2x) )^(1) = 2 + 2 tan^2(2x)

******

( tan(2x) )^(2) = (2 + 2 tan^2(2x))^(1)

( tan(2x) )^(2) = 2 (tan^2(2x))^(1)

( tan(2x) )^(2) = 2*2 tan(2x) (tan(2x))^(1)

( tan(2x) )^(2) = 4 tan(2x) 2 sec^2(2x)

( tan(2x) )^(2) = 8 tan(2x) sec^2(2x)

( tan(2x) )^(2) = 8 tan(2x) (1 + tan^2(2x))

( tan(2x) )^(2) = 8 tan(2x) + 8 tan^3(2x)

*******

( tan(2x) )^(3) = (8 tan(2x) + 8 tan^3(2x))^(1)

( tan(2x) )^(3) = 8 (tan(2x))^(1) + 8 (tan^3(2x))^(1)

( tan(2x) )^(3) = 8 (tan(2x))^(1) + 8*3 (tan^2(2x)) (tan(2x))^(1)

( tan(2x) )^(3) = 8 (tan(2x))^(1) + 24 tan^2(2x) (tan(2x))^(1)

( tan(2x) )^(3) = 8 (tan(2x))^(1) +

+ 24 tan^2(2x) (tan(2x))^(1)

( tan(2x) )^(3) = 8 * 2 (1 + tan^2(2x) +

+ 24 * 2 tan^2(2x) (1 + tan^2(2x)

( tan(2x) )^(3) = 16 + 16 tan^2(2x) +

+ 48 tan^2(2x) + 48 tan^4(2x)

( tan(2x) )^(3) = 16 + 64 tan^2(2x) + 48 tan^4(2x)

***************

y así sucesivamente

Resultados verificados hasta aquí

Saludos

Vaya, veo que no te apetece hacer tus tareas escolares de Matemáticas, prefieres escribir preguntas aquí para pedir que te las hagan. Eres listo y haces bien. ¿Por qué esforzarse y dedicarse a estudiar, habiendo aquí unos cuantos giles que van a trabajar para ti graciosamente? ….. Di que sí, tú a lo tuyo: túmbate en el sofá de tu casa, conéctate a tu juego favorito y deja las tareas de Matemáticas para Yahoo. Ya verás como en poco tiempo, alguno de los habituales contestadores te ha dado la solución, así que ¿para qué trabajar o pensar, si hay otros dispuestos a hacerlo para ti? Has hecho muy bien, tienes todo el derecho a que los demás te hagan tus deberes escolares mientras tú te diviertes. Vuelve siempre que tengas más tareas; aquí siempre habrá giles dispuestos a hacértelas.

Y oye, no te prives: lo necesitas URGENTE, así que diles que dejen inmediatamente todo lo que estén haciendo y se pongan a satisfacerte. No dudes que lo harán.

Por si tienes dudas, estos son los 7 mandamientos de Yahoo!Respuestas, grupo Matemáticas:

1. No estudiar jamás un libro de Matemáticas, cuando otro lo puede hacer por ti.

2. No hacer jamás un trabajo cuando otro lo puede hacer por ti.

3. Tratar que los demás te lo hagan todo y bien, para sacar una alta nota y los demás crean que eres el mejor.

4. Nunca perder el tiempo estudiando cuando se puede estar jugando con la Play.

5. Tampoco quitar horas de juego a la Play para ocuparse de esa tontería llamada “Matemáticas”.

6. Dormir o divertirse todo el día... Durmiendo o divirtiéndose, uno no comete errores.

7. EL MÁS IMPORTANTE: escribir preguntas en Yahoo, grupo de Matemáticas, que es un sitio lleno de giles dispuestos a comer de la mano de cualquiera que les pida que le hagan las tareas.

1° derivada 2 Sec[2 x]^2

2° derivada 8 Sec[2 x]^2 Tan[2 x]

3° derivada 16 Sec[2 x]^4 + 32 Sec[2 x]^2 Tan[2 x]^2

4° derivada 256 Sec[2 x]^4 Tan[2 x] + 128 Sec[2 x]^2 Tan[2 x]^3

5° derivada 512 Sec[2 x]^6 + 2816 Sec[2 x]^4 Tan[2 x]^2 + 512 Sec[2 x]^2 Tan[2 x]^4

simplificado:

1° derivada 2 Sec[2 x]^2

2° derivada 8 Sec[2 x]^2 Tan[2 x]

3° derivada -16 (-2 + Cos[4 x]) Sec[2 x]^4

4° derivada -32 Sec[2 x]^5 (-11 Sin[2 x] + Sin[6 x])

5° derivada 64 (33 - 26 Cos[4 x] + Cos[8 x]) Sec[2 x]^6