¿Ayuda con transformaciones de algebra lineal?
Alguien que fuera tan amable de explicarme/ayudarme a hacer estos dos problemas:
Determina si las siguientes son transformaciones lineales. Si lo son, encuentra su núcleo, su imagen y la dimensión de estos.
a) T:R3 -> R2 ; T(x , y , z) = ( x , y+ z )
b) T:R2 -> R ; T(x , y) = xy
More Questions From This User See All
Answers & Comments
No soy tu esclavo.
Hola
Una transformación es lineal si
T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2)
Para demostrar la linealidad,
hay que demostrar la igualdad anterior
para cualquier c1,c2
Para demostrar la no-linealidad,
basta con un ejemplo en que la igualdad anterior
no se cumpla.
a)
T(c1 (x1,y1,z1) + c2(x2,y2,z2))) =
= T (c1 x1 + c2 x2, c1 y1 + c2 y2, c1 z1 + c2 z2)
= ( c1 x1 + c2 x2, c1 y1 + c2 y2+ c1 z1 + c2 z2 )
= ( c1 x1 + c2 x2, c1 y1 + c1 z1 + c2 y2 + c2 z2 )
= ( c1 x1 + c2 x2, c1 (y1 + z1) + c2 (y2 + z2) )
c1 T(x1,y1,z1) + c2 T(x2,y2,z2) =
= c1 (x1 , y1 + z1) + c2 (x2, y2 + z2)
= ( c1 x1 + c2 x2, c1 (y1 + z1) + c2 (y2 + z2) )
Efectivamente, es una T.L
Núcleo
(x,y,z) en R^3 que cumpla
T(x,y,z) = (x , y + z) = (0 , 0)
Entonces
x = 0
y + z = 0 -> y = -z
Vector del núcleo
(0 , -z , z) = z (0, -1 , 1)
z cualquiera
concluímos que
(0,-1,1) es base de Nu(T)
Dim(Nu(T)) = 1
********************
Imagen
(x,y) en R^2 que cumpla
T(u,v,w) = (u , v + w) = (x , y)
para algún u,v,w (determinados por x,y)
concluímos que
u = x
v + w = y
v = y - w
Dados CUALQUIER x,y de R^2
se puede averiguar la(s) preimagen(es) (u,v,w)
Entonces
Vectores de la imagen
(x , y ) = x (1,0) + y (0,1)
Dim(Im(T)) = 2
***************************
b)
Contraejemplo
T(1,1) = 1*1 = 1
T(1,0) = 1*0 = 0
T(0,1) = 0*1 = 0
T(1,1) ≠ T(1,0) + T(0,1)
T NO es lineal
Saludos