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F(x,y)=(x^2 + y^2)^2 - 4x^2*y=0

F'x=2( x^2 + y^2)*2x-8xy=4x(x^2 + y^2)-8xy

F'y=2( x^2 + y^2)*2y-4x^2=4y(x^2 + y^2)-4x^2

y'=-F'x/F'y

y'=-[4x(x^2 + y^2)-8xy]/[4y(x^2 + y^2)-4x^2]

y'(1,1)=-[4(1+1)-8]/[4(1+1)-4]=

-[8-8]/[8-4]=-(0)/4=0

Por lo tanto en (1,1) la recta tangente a la curva tiene pendiente cero, es decir que es horizontal y pasa por (1,1) por lo que su ecuación es y=1.

Si ves el gráfico en algún software (Graphmatica, por ej.) son como dos pétalos uno en cada cuadrante sobre el eje x. La recta en cuestión roza ambos por la parte superior haciendo contacto en (1,1) y (-1,1)

Hola

(x^2 + y^2)^2 = 4 x^2 y

diferenciamos implícitamente

2 (x^2 + y^2) ( 2 x dx + 2 y dy) = 8 x y dx + 4 x^2 dy

Simplificamos 4

(x^2 + y^2) ( x dx + y dy) = 2 x y dx + x^2 dy

agrupamos

(y (x^2 + y^2) - x^2) dy = (2 x y - x (x^2 + y^2)) dx

(y x^2 + y^3 - x^2) dy = (2 x y - x^3 - x y^2) dx

dy/dx = (2 x y - x^3 - x y^2)/(y x^2 + y^3 - x^2)

*******

Tangente horizontal

2 x y - x^3 - x y^2 = 0

x (2 y - (x^2 + y^2)) = 0

1ª posible solución

x = 0

En la ecuación original

(x^2 + y^2)^2 = 4 x^2 y

y^4 = 0

y = 0

2ª posible solución

2 y - (x^2 + y^2) = 0

x^2 + y^2 = 2 y

En la ecuación original

(x^2 + y^2)^2 = 4 x^2 y

(2 y)^2 = 4 x^2 y

4 y^2 = 4 x^2 y

Si descartamos el origen (ya considerado)

y = x^2

En la ecuación original

(y + y^2)^2 = 4 y y

y^2 + y^4 + 2 y^3 = 4 y^2

y^2 (y^2 + 2 y - 3) = 0

y^2 (y - 1) (y + 3) = 0

y = 0 ya considerado

y = -3 imposible porque

(x^2 + y^2)^2 = 4 x^2 y < 0

Queda

y = 1

x = +/- 1

**********

En total, 3 puntos de tangencia horizontal

confirmado por la gráfica

x = 0 ; y = 0

x = -1 ; y = 1

x = 1 ; y = 1

*********************

Ahora es fácil

Si tenemos el punto

x = 1 ; y = 1

y nos hablan de tangencia horizontal

y = 1

es la recta tangente...

Saludos

Para la persona que comento anterior mente, ya que no me alcanzado el espacio para agracerle:

Gracias Amigo(a) !

Yo se muy bien el procedimiento a aplicar, mi duda es únicamente que no he logrado hacerlo ya que no se cómo hacerlo con el paréntesis con potencia!!!

No entiendo, si no te agrada ayudar, ¿que haces en un sitio de preguntas y respuestas? solo para fastidiar la existencia, acaso no tienes algo productivo que hacer, o tu trabajo es SENTARTE EN EL SOFÁ y creerte muy correcto(a) corrigiendo a los demás ?

PD: gracias por tu comentario, es de gran utilidad! 😕

Haz tu tarea tú solo, gandul...

¿No has ido a clase? ¿No has estudiado? ¿Por qué debemos hacer tu trabajo mientras tú estás tumbado en el sofá de tu casa?