¿Ayuda con integrales dobles:?
1) usando integrales dobles, determinar el area de un elipse con semiejes a y b
2)¿cual es el volumen de un granero que tiene una base rectangular de 6m por 12m y paredes verticales de 9m de altura al frete (que esta del lado que mide 6m) y 12m atrás? el granero tiene techo plano. usar integrales dobles para calcular el volumen.
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1) Area = integral doble dx dy
Vamos a pasar a polares para resolver la integral
x = a · ro · cos theta
y = b · ro · sen theta
el jacobiano es J = a · b· ro
y la region quedarán r o = 1
por lo que A = integral dobles a b ro d ro d theta
A = a · b · integral d theta (de 0 a 2 pi) · integral ro d ro (de 0 a 1)
A = a · b · 2 pi · 1^2 / 2
A = pi · a · b
2) Volumen = integral doble de z dx dy siendo z la función que define el "techo" del granero
z = 9
Volumen = integral doble 9 d x dy
Volumen = 9 · integral doble dx dy
La integral doble nos da el area de la region R, es decir 6 · 12
por lo que el volumen es V = 9 · 6 · 12 = 648 m^3
Si quieres hacer la integral doble como tal (el area):
A = integral doble dx dy = integral de 0 a 6 dx · integral de 0 a 12 dy = 6 · 12 m^2
El problema es muy fácil. Introduces un cambio de variables haciendo x=a r cos u, y= b r sen u. El jacobiano en este caso es abr. Hallas la integral que queda ab por pi r al cuadrado.