Verified answer

Hola

La próxima vez, invierte.

Primero, "Ayuda, por favor"

Luego, olvida el "¡urgente!", no te ayuda.

1)

Verificamos el primer párrafo

E(F) = ʃ [t_de_0_a_∞] (t F(t) dt)

E(F) = ʃ [t_de_0_a_∞] (t^2 e^(-t) dt)

E(F) = - ʃ [t_de_0_a_∞] ((-t)^2 e^(-t) d(-t))

E(F) = - ((-t)^2 - 2 (-t) + 2) e^(-t) [t_de_0_a_∞]

recordamos que el límite de t^n e^(-t) es cero

para crecimiento indefinido

E(F) = - [ ((-∞)^2 - 2 (-∞) + 2) e^(-∞) -

- ((-0)^2 - 2 (-0) + 2) e^(-0) ]

E(F) = - [- 2]

E(F) = 2

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2)

Esperanza de la función Z(t)

con la variable aleatoria t

con la función de distribución F(t)

Observemos que la esperanza de F(t) a secas,

se obtiene con la función identidad

E(Z) = ʃ [t_de_0_a_∞] (Z(t) F(t) dt)

E(Z) = ʃ [t_de_0_a_∞] ( e^(-αt) t e^(-t) dt)

E(Z) = ʃ [t_de_0_a_∞] ( t e^(-(α + 1) t) dt)

cambiamos de variable

u = (α + 1) t

Como α > 0, los límites no cambian

E(Z) = (1/(α + 1)^2) ʃ [u_de_0_a_∞] ( u e^(-u) du)

E(Z) = (1/(α + 1)^2) (- u - 1) e^(-u) [u_de_0_a_∞]

E(Z) = (1/(α + 1)^2) [ (- ∞ - 1) e^(-∞) - (- 0 - 1) e^(-0)]

E(Z) = 1/(α + 1)^2

***********************

Saludos