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Hola

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Proponemos

(x^4 + x^3 + 1)/(x^2 - 4)^3 =

(A1/(x - 2)^3) + (B1/(x - 2)^2) + (C1/(x - 2)) +

+

(A2/(x + 2)^3) + (B2/(x + 2)^2) + (C2/(x + 2))

Multiplicamos todo por (x - 2)^3

(x^4 + x^3 + 1)/(x + 2)^3 =

(A1) + (B1(x - 2)) + (C1 (x -2)^2) +

+

[(A2/(x + 2)^3) + (B2/(x + 2)^2) + (C2/(x + 2)) ] (x - 2)^3

Para x = 2

A1 = ((2)^4 + (2)^3 + 1)/(2+2)^3

A1 = (16 + 8 + 1)/64

A1 = 25/64

**************

Ahora derivamos la expresión anterior

d/dx [(x^4 + x^3 + 1)/(x + 2)^3] =

(B1) + 2 (C1 (x -2)) +

+

+ [(A2/(x + 2)^3) + (B2/(x + 2)^2) + (C2/(x + 2)) ]' (x - 2)^3 +

+ 3 [(A2/(x + 2)^3) + (B2/(x + 2)^2) + (C2/(x + 2)) ] (x - 2)^2

Para x = 2

B1 = d/dx [(x^4 + x^3 + 1)/(x + 2)^3] (x = 2)

y = (x^4 + x^3 + 1)/(x + 2)^3

y' = [(4 x^3 + 3 x^2)(x + 2)^3 -

- (x^4 + x^3 + 1) 3 (x + 2)^2]/(x + 2)^6

y' = [(4 x^3 + 3 x^2)(x + 2) -

- 3 (x^4 + x^3 + 1) ]/(x + 2)^4

y' = [(4 x^4 + 3 x^3 + 8 x^3 + 6 x^2) - (3x^4 + 3 x^3 + 3)]/(x

+ 2)^4

y' = (x^4 + 8 x^3 + 6 x^2 - 3) /(x + 2)^4

B1 = (2^4 + 8*2^3 + 6*2^2 - 3)/(2 + 2)^4

B1 = (16 + 64 + 24 - 3)/256

B1 = 101/256

******************

Ahora derivamos la expresión anterior

d^2/dx^2 [(x^4 + x^3 + 1)/(x + 2)^3] =

2 C1 +

+

+ [(A2/(x + 2)^3) + (B2/(x + 2)^2) + (C2/(x + 2)) ]'' (x - 2)^3 +

+ 3 [(A2/(x + 2)^3) + (B2/(x + 2)^2) + (C2/(x + 2)) ]' (x - 2)^2

+

+ 3 [(A2/(x + 2)^3) + (B2/(x + 2)^2) + (C2/(x + 2)) ] (x - 2)^2

+

+ 6 [(A2/(x + 2)^3) + (B2/(x + 2)^2) + (C2/(x + 2)) ] (x - 2)

Para x = 2

C1 = (1/2) d^2/dx^2 [(x^4 + x^3 + 1)/(x + 2)^3] (x = 2)

y' = (x^4 + 8 x^3 + 6 x^2 - 3) /(x + 2)^4

y'' = [ (4 x^3 + 24 x^2 + 12 x)(x + 2)^4 -

- (x^4 + 8 x^3 + 6 x^2 - 3) 4 (x + 2)^3 ] / (x + 2)^8

y'' = [ (4 x^3 + 24 x^2 + 12 x)(x + 2) -

- 4 (x^4 + 8 x^3 + 6 x^2 - 3) ] / (x + 2)^5

y'' = [ 4 x^4 + 32 x^3 + 60 x^2 + 24 x -

- (4 x^4 + 32 x^3 + 24 x^2 - 12) ] / (x + 2)^5

y'' = (36 x^2 + 24 x + 12) / (x + 2)^5

C1 = (1/2) (36*4 + 24*2 + 12)/(2+2)^5

C1 = (1/2) (12) (3*4 + 2*2 + 1)/(4)^5

C1 = (6) (17)/1024

C1 = 51/512

********************

mutatis mutandis

A2 = (x^4 + x^3 + 1)/(x - 2)^3] x = -2

A2 = (16 - 8 + 1)/(-64)

A2 = -9/64

*************

B2 = d/dx [(x^4 + x^3 + 1)/(x - 2)^3] (x = -2)

y' = [(4 x^3 + 3 x^2)(x - 2) -

- 3 (x^4 + x^3 + 1) ]/(x - 2)^4

y' = (x^4 - 8 x^3 - 6 x^2 - 3)/(x - 2)^4

B2 =(16 + 64 - 24 - 3)/(256)

B2 = 53/256

*****************

C2 = (1/2) d^2/dx^2 [(x^4 + x^3 + 1)/(x - 2)^3] (x = -2)

y'' = [ (4 x^3 - 24 x^2 - 12 x)(x - 2) -

- 4 (x^4 - 8 x^3 - 6 x^2 - 3) ] / (x - 2)^5

y'' = [ 4 x^4 - 32 x^3 + 36 x^2 + 24 x -

- (4 x^4 - 32 x^3 - 24 x^2 - 12) ] / (x - 2)^5

y'' = (60 x^2 + 24 x + 12) / (x - 2)^5

C2 = (1/2) (240 - 48 + 12)/(-1024)

C2 = (-1/2) (12) (20 - 4 + 1)/1024

C2 = -6*17/1024

C2 = -51/512

*********************

(x^4 + x^3 + 1)/(x^2 - 4)^3 =

= (25/64) (1/(x - 2)^3) + (101/256)(1/(x - 2)^2) - (51/512)(1/

(x - 2)) +

+

+ (-9/64) (1/(x + 2)^3) + (53/256)(1/(x + 2)^2) - (51/512)(1/(x

+ 2))

Queda

ʃ(x^4 + x^3 + 1)dx /(x^2 - 4)^3 =

= (25/64) ((-1/2)/(x - 2)^2) + (101/256)((-1)/(x - 2)) -

- (51/512) ln(x - 2) +

+ (-9/64) ((-1/2)/(x + 2)^2) + (53/256)((-1)/(x + 2)) -

- (51/512) ln(x + 2) + C

ʃ(x^4 + x^3 + 1)dx /(x^2 - 4)^3 =

= (-25/128) (1/(x - 2)^2) + (-101/256)(1/(x - 2)) +

+ (-51/512) ln(x - 2) +

+ (9/128) (1/(x + 2)^2) + (-53/256)(1/(x + 2)) +

+ (-51/512) ln(x + 2) + C

**********************************************

s.e.u.o.

OBSERVA

Claro

Previamente

(x² ‒4)³ = (x ‒2)³(x+2)³

APLICAS

Factores lineales distintos repetidos.

Revisa estos excelentes videos

https://www.youtube.com/watch?v=NA7xJjlv_ao

Con el método de Ostrogradski sale más fácil

∫ (x^4+x^3+1) / (x^2-4)^3 dx = (Ax^3+Bx^2+Cx+D) / (x^2-4)^2 + ∫ (Ex+F) /(x^2-4) dx

El primer denominador es el MCD entre (x^2-4)^3 y su derivada

El segundo denominador es la (x^2-4)^3 sin exponente

(cuestión de repasar este método)

Derivas ambas partes e igualas los numeradores

x^4+x^3+1 = Ex^5 + x^4(F - A) - 2x^3(B + 4E) - x^2(12A + 3C + 8F) - 4x(2B + D - 4E) - 4(C - 4F)

Sistema de ecuaciones

E = 0

F - A = 1

B + 4E = -1/2

12A + 3C + 8F = 0

2B + D - 4E = 0

C - 4F = -1/4

Solución del sistema:

A = - 77/128 ∧ B = - 1/2 ∧ C = 43/32 ∧ D = 1 ∧ E = 0 ∧ F = 51/128

Entonces

∫ (x^4+x^3+1) / (x^2-4)^3 dx = {(-77/128)x^3 -(1/2)x^2+(43/32)x+1} / (x^2-4)^2 + (51/128) ∫ 1 /(x^2-4) dx

Por tabla

∫ 1 /(x^2-4) dx = 1/4 ln |(x-2)/(x+2)|

∫ (x^4+x^3+1) / (x^2-4)^3 dx = {(-77/128)x^3 -(1/2)x^2+(43/32)x+1} / (x^2-4)^2 + (51/128) (1/4 ln |(x-2)/(x+2)|)

∫ (x^4+x^3+1) / (x^2-4)^3 dx = - (77x^3 + 64x^2-172x-128} /[128 (x^2-4)^2] + (51/512) ln |(x-2)/(x+2)| + C

Ignoro absolutamente cual es el caso tres del manual que haces servir.

Pero la respuesta es sí.

Siempre se puede integrar el cociente de dos polinomios.

Y creo que en algunas facultades todavía insisten en enseñar a efectuar el cálculo a mano, como hace 40 años.

Por suerte, en la mía, no. Al menos el profesor de cálculo que yo tuve no estaba muy interesado en los cálculos meramente mecánicos.

Para esto hay programas que lo hacen y, en todo caso, sabiendo la solución, es fácil deducir los pasos:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28...

No voy a hacer tu tarea mientras vos te rascas

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