Hola,

I) ∫ (3x - 4) ln x dx =

escribámosla como:

∫ (ln x) (3x - 4) dx =

integramos por partes, poniendo:

ln x = u → (diferenciando) → (1/x) dx = du

(3x - 4) dx = dv → (integrando) → 3 [1/(1+1)] x¹ ⁺ ¹ - 4x = 3(1/2)x² - 4x =

(3/2)x² - 4x = v

obteniendo:

∫ u dv = v u - ∫ v du

∫ (ln x) (3x - 4) dx = [(3/2)x² - 4x] ln x - ∫ [(3/2)x² - 4x] (1/x) dx =

(simplificando)

[(3/2)x² - 4x] ln x - ∫ [(3/2)x - 4] dx =

(partiendo en dos integrales y sacando las constantes)

[(3/2)x² - 4x] ln x - (3/2) ∫ x dx - (- 4) ∫ dx =

[(3/2)x² - 4x] ln x - (3/2) [1/(1+1)] x¹ ⁺ ¹ + 4 ∫ dx =

[(3/2)x² - 4x] ln x - (3/2)(1/2)x² + 4x + C =

concluyendo con:

[(3/2)x² - 4x] ln x - (3/4)x² + 4x + C

========================== ====================

II) ∫ (2x - 5) e^(- 3x) dx =

primero dividamos y multipliquemos por - 3 que es la derivada del exponente:

∫ [1/(- 3)] (2x - 5) e^(- 3x) (- 3) dx =

∫ (- 1/3)(2x - 5) e^(- 3x) d(- 3x) =

integremos por partes, poniendo:

(- 1/3)(2x - 5) = u → (- 1/3)(2 ∙ 1) dx = (- 2/3) dx = du

e^(- 3x) d(- 3x) = dv → (aplicando la regla de integración ∫ e^f(x) d[f(x)] =

e^f(x) + C) → e^(- 3x) = v

obteniendo:

∫ u dv = u v - ∫ v du

∫ (- 1/3)(2x - 5) e^(- 3x) d(- 3x) = (- 1/3)(2x - 5) e^(- 3x) - ∫ e^(- 3x) (- 2/3) dx =

(dividendo y multiplicando el restante integrando por - 3, que es la derivada del exponente)

- (1/3)(2x - 5) e^(- 3x) - ∫ e^(- 3x) [1/(- 3)](- 2/3) (- 3) dx =

- (1/3)(2x - 5) e^(- 3x) - ∫ e^(- 3x) (2/9) d(- 3x) =

(sacando la constante y aplicando la regla de integración ∫ e^f(x) d[f(x)] =

e^f(x) + C)

- (1/3)(2x - 5) e^(- 3x) - (2/9) ∫ e^(- 3x) d(- 3x) =

- (1/3)(2x - 5) e^(- 3x) - (2/9) e^(- 3x) + C =

(sacando - e^(- 3x) )

- e^(- 3x) [(1/3)(2x - 5) + (2/9)] + C =

- e^(- 3x) {[3(2x - 5) + 2] /9} + C =

- e^(- 3x) [(6x - 15 + 2) /9] + C =

- e^(- 3x) [(6x - 13) /9] + C =

concluyendo con:

- (1/9)(6x - 13) e^(- 3x) + C

=========================== ======================

III) ∫ x cos(x/2) dx =

antes dividamos y multipliquemos por 1/2 que es la derivada del argumento x/2:

∫ [1/(1/2)] x cos(x/2) (1/2) dx =

∫ 2x cos(x/2) d(x/2) =

integremos por partes, poniendo:

2x = u → 2 dx = du

cos(x/2) d(x/2) = dv → (aplicando la regla de integración ∫ cos[f(x)] d[f(x)] =

sen[f(x)] + C) → sen(x/2) = v

obteniendo:

∫ u dv = u v - ∫ v du

∫ 2x cos(x/2) d(x/2) = 2x sen(x/2) - ∫ sen(x/2) 2 dx =

(dividendo y multiplicando el restante integrando por 1/2, que es la derivada del argumento x/2)

2x sen(x/2) - ∫ sen(x/2) {[1/(1/2)] 2} (1/2) dx =

2x sen(x/2) - ∫ sen(x/2) (2 ∙ 2) d(x/2) =

(sacando las constantes y aplicando la regla de integración ∫ sen[f(x)] d[f(x)] =

- cos[f(x)] + C)

2x sen(x/2) - 4 ∫ sen(x/2) d(x/2) =

2x sen(x/2) - 4 [- cos(x/2)] + C =

concluyendo con:

2x sen(x/2) + 4cos(x/2) + C

======================= ==================

IV) ∫ (2x - 3) sen(x/2) dx =

dividamos y multipliquemos por 1/2 que es la derivada del argumento x/2:

∫ [1/(1/2)] (2x - 3) sen(x/2) (1/2) dx =

∫ 2(2x - 3) sen(x/2) d(x/2) =

integremos por partes, poniendo:

2(2x - 3) = u → 2(2 ∙ 1) dx = 4 dx = du

sen(x/2) d(x/2) = dv → (aplicando la regla de integración ∫ sen[f(x)] d[f(x)] =

- cos[f(x)] + C) → - cos(x/2) = v

obteniendo:

∫ u dv = u v - ∫ v du

∫ 2(2x - 3) sen(x/2) d(x/2) = 2(2x - 3) [- cos(x/2)] - ∫ [- cos(x/2)] 4 dx =

(dividendo y multiplicando el restante integrando por 1/2, que es la derivada del argumento x/2)

- 2(2x - 3) cos(x/2) + ∫ cos(x/2) {[1/(1/2)] 4} (1/2) dx =

- 2(2x - 3) cos(x/2) + ∫ cos(x/2) (2 ∙ 4) d(x/2) =

(sacando las constantes y aplicando la regla de integración ∫ cos[f(x)] d[f(x)] =

sen[f(x)] + C)

- 2(2x - 3) cos(x/2) + 8 ∫ cos(x/2) d(x/2) =

- 2(2x - 3) cos(x/2) + 8sen(x/2) + C

========================= =======================

V) ∫ x² e^(- x) dx =

cambiemos los signos para obtener - dx que es el diferencial del exponente:

∫ - x² e^(- x) (- dx) =

∫ - x² e^(- x) d(- x) =

integremos por partes, poniendo:

- x² = u → - 2x dx = du

e^(- x) d(- x) = dv → (aplicando la regla de integración ∫ e^f(x) d[f(x)] = e^f(x) +

C) → e^(- x) = v

obteniendo:

∫ u dv = u v - ∫ v du

∫ - x² e^(- x) d(- x) = - x² e^(- x) - ∫ e^(- x) (- 2x) dx =

- x² e^(- x) - ∫ 2x e^(- x) (- dx) =

(siendo - dx el diferencial del exponente)

- x² e^(- x) - ∫ 2x e^(- x) d(- x) =

integremos por partes otra vez, poniendo:

2x = u → 2 dx = du

e^(- x) d(- x) = dv → (aplicando la regla de integración ∫ e^f(x) d[f(x)] = e^f(x) +

C) → e^(- x) = v

obteniendo:

∫ u dv = u v - ∫ v du

- x² e^(- x) - [2x e^(- x) - ∫ e^(- x) 2 dx] =

(sacando la constante de la integral y llevando adentro el menos para obtener - dx que es el diferencial del exponente)

- x² e^(- x) - [2x e^(- x) - 2 ∫ e^(- x) dx] =

- x² e^(- x) - [2x e^(- x) + 2 ∫ e^(- x) (- dx)] =

- x² e^(- x) - 2x e^(- x) - 2 ∫ e^(- x) d(- x) =

(aplicando de nuevo la regla de integración ∫ e^f(x) d[f(x)] = e^f(x) + C)

- x² e^(- x) - 2x e^(- x) - 2e^(- x) + C =

e^(- x) (- x² - 2x - 2) + C =

concluyendo con:

- (x² + 2x + 2) e^(- x) + C

espero haber sido de ayuda

¡Saludos!

Hola

1) integral (3x-4) ln dx

No tiene sentido, el "ln" (logaritmo natural) está huérfano.

2)

ʃ (2 x - 5) e^(-3x) dx =

= 2 ʃ x e^(-3x) dx - 5 ʃ e^(-3x) dx

= (2/9) ʃ (-3x) e^(-3x) d(-3x) + (5/3) ʃ e^(-3x) d(-3x)

= (2/9) ( (-3x) e^(-3x) - e^(-3x) ) + (5/3) e^(-3x) + C

= -(2/3) x e^(-3x) - (2/9) e^(-3x) + (15/9) e^(-3x) + C

= -(2/3) x e^(-3x) + (13/9) e^(-3x) + C

*******************************************

3)

ʃ x cos(x/a) dx =

= a^2 ʃ (x/a) cos(x/a) d(x/a)

= a^2 ( (x/a) sen(x/a) + cos(x/a) ) + C

= a x sen(x/a) + a^2 cos(x/a)

**********************************

4)

ʃ (2 x - 3) sen(x/2) dx =

= 2 ʃ x sen(x/2) dx - 3 ʃ sen(x/2) dx

= 8 ʃ (x/2) sen(x/2) d(x/2) - 6 ʃ sen(x/2) d(x/2)

= 8 ( -(x/2) cos(x/2) + sen(x/2) ) - 6 (- cos(x/2)) + C

= -4 x cos(x/2) + 8 sen(x/2) + 6 cos(x/2) + C

****************************************************

5)

ʃ x^2 e^(-x) dx =

= (-1) ʃ (-x)^2 e^(-x) d(-x)

= (-1) ( (-x)^2 - 2 (-x) + 2) e^(-x) + C

= (-x^2 - 2 x - 2) e^(-x) + C

**********************************

Todo verificado con Graphmatica.