Hola

Cambiamos el signo

y'' - y' = -sen(t) - cos(t)

Ecuación homogénea

y'' - y' = 0

Solución homogénea

Ecuación auxiliar

r^2 - r = 0

r1 = 0

r2 = 1

Solución

yh = c1 + c2 e^t

**********************

Solución particular

yp = A sen(t) + B cos(t)

yp' = A cos(t) - B sen(t)

yp'' = -A sen(t) - B cos(t)

yp'' - yp' = (-A + B) sen(t) + (-A - B) cos(t) = - sen(t) - cos(t)

identificamos

-A + B = -1

-A - B = -1

Esto resulta en

A = 1

B = 0

yp = sen(t)

**************

Solución total

yt = yh + yp = c1 + c2 e^t + sen(t)

*************************************

t = 0 ; y = 0

0 = c1 + c2 e^(0) + sen(0)

c1 + c2 = 0

derivamos

yt' = c2 e^t + cos(t)

t = 0 ; y' = 1

c2 + cos(0) = 1

c2 + 1 = 1

c2 = 0

entonces

c1 = 0

Queda, como solución final

y = sen(t)

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