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Para resolverlo primero tienes que realizar ciertas operaciones.

sea

f(t)= (t + 1)^3 , para t=>0

L[f(t)] = L[(t + 1)^3] = L[(t + 1)*(t + 1)*(t + 1)] = L[(t^2 + 2t + 1)*(t + 1)] =

L[t^3 + 3*t^2 + 3*t + 1]

Ahora ya que el operador L es un operador lineal podemos separar las sumas

L[t^3 + 3*t^2 + 3*t + 1] = L[t^3] + L[3*t^2] + L[3*t] + L[1] =

Ahora haciendo unos toques matemáticos (multiplicando etc.) queda

6*L[(t^3)/6] + 6*L[(t^2)/2] + 3*L[t] + L[1]

Valiéndose de una tabla de transformadas tenemos

L[f(t)] = 6/s^4 + 6/s^3 + 3/s^2 + 1/s

Recuerda que suponemos que f(t) esta definida para t =>0

Hola

Según transformadas

de corrimiento de tiempo

L(f(t - a)) = e^(as) F(s)

Según transformadas de potencias

L(t^n) = n!/(s^(n+1))

Entonces

L(t^3) = 6/s^4

L((t + 1)^3) = 6 e^s / s^4

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¿Cuál es la diferencia con el desarrollo correcto?

L[f(t)] = 6/s^4 + 6/s^3 + 3/s^2 + 1/s

Hay que recordar que las funciones del tiempo

que es usan en Laplace

son válidas para t > 0

SALVO indicación en contrario

ó, como equivalente, están multiplicadas

por la función escalón de Heaviside

0 para t <= 0

1 para t > 0

Es decir,

la fórmula de transformación de potencia

debería ser

L( t^n H(t) ) = n!/s^(n+1)

con el importante agregado

Re(s) > 0

Ahora volvemos a

f(t) = (t + 1)^3

¿para qué valores de t esté definida?

Para un problema físico,

podemos suponer que para

t > -1

para que arranque de 0 el valor de f(t)

pero podría ser

t > 0

Aquí tenemos las DOS soluciones válidas

t > -1 -> L( (t + 1)^2 H(t +1) ) = e^s ( 6/s^4)

t > 0 -> L( (t + 1)^2 H(t) ) = (6/s^4) + (6/s^3) + (3/s^2) + (1/s)

¿cuál es mejor?

Ninguna de las dos,

las dos son válidas dentro de su hipótesis...

Como curiosidad

L( (t + 1)^2 H(t) ) = (6/s^4) + (6/s^3) + (3/s^2) + (1/s)

L( (t + 1)^2 H(t) ) = (6/s^4) (1 + s + (1/2) s^2 + (1/6) s^3)

que resulta ser los primeros cuatro términos de

e^s (6/s^4)

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P.S.

Eso es lo que pienso que son las matemáticas,

el último reducto donde las opiniones

se justifican razonando

y aportando ideas que aclaren el panorama

como así también para abrir la cabeza

a nuevos planteos.

Lamentablemente,

hay gente que usan las matemáticas

como si fuera la mala política,

con denuestos e improperios indignos de este foro.

Saludos cordiales