¿Alguien me puede ayudar a resolver estas dos ecuaciones diferenciales usando el método de potencias, doy 10 puntos al que los resuelva......?
Usando el método de series de potencia para resolver el problema de un valor inicial dado.
•(x-1)y´´- xy´+y=0, y´(0)=6
•y´=e^-x^2, y´(0)=1
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Hola
a)
Estás dando sólo un valor inicial.
Se necesitan 2 valores iniciales
para ecuaciones de orden 2
y = ao + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + ...
y' = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + 4 a4 x^3 + ...
y'' = 2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + 20 a5 x^3 + ...
(x - 1) y'' - x y' + y = 0
(x - 1) (2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + 20 a5 x^3 + ...) -
- x (a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + 4 a4 x^3 + ...) +
+ (ao + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + ...) = 0
(2 a2 x + 6 a3 x^2 + 12 a4 x^3 + 20 a5 x^4 + ...) +
+ (-2 a2 - 6 a3 x - 12 a4 x^2 - 20 a5 x^3 - ...) +
+ (-a1 x - 2 a2 x^2 - 3 a3 x^3 - 4 a4 x^4 - ...) +
+ (ao + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + ...) = 0
término independiente
-2 a2 + ao = 0
a2 = (1/2) ao
término en x
2 a2 - 6 a3 - a1 + a1 = 0
a3 = (1/3) a2
a3 = (1/6) ao
término en x^2
6 a3 - 12 a4 - 2 a2 + a2 = 0
12 a4 = 6 a3 - a2
12 a4 = 6 (1/6) ao - (1/2) ao
12 a4 = ao - (1/2) ao
12 a4 = (1/2) ao
a4 = (1/24) a0
término en x^3
12 a4 - 20 a5 - 3 a3 + a3 = 0
20 a5 = 12 a4 - 2 a3
20 a5 = (1/2) ao - (1/3) ao
20 a5 = (1/6) ao
a5 = (1/120) ao
....
tenemos la solución
y = a1 x +
+ ao (1 + (1/2) x^2 + (1/6) x^3 + (1/24)x^4 + (1/120 x^5) + ...
donde ao, a1 salen de las condiciones iniciales
La solución parece ser
y = a1 x + ao (e^x - x)