Verified answer

Hola nuevamente.

En este caso, no hace falta la serie de potencias,

basta con desarrollar la serie de e^(-x^2)

que es convergente en todo punto

e integrar término a término

e^x = 1 + x + (1/2) x^2 + (1/6) x^3 + (1/24) x^4 + ...

e^(-x^2) = 1 - x^2 + (1/2) x^4 - (1/6) x^6 + (1/24) x^8 - ...

y' = dy/dx = e^(-x^2)

dy = e^(-x^2) dx

y = ʃ e^(-x^2) dx

Observemos que NO hay integral elemental

para este integrando y sí lo hay para ʃ x e^(-x^2) dx

Podemos integrar término a término

por ser una serie absolutamente convergente.

y = ʃ e^(-x^2) dx

y = ʃ (1 - x^2 + (1/2) x^4 - (1/6) x^6 + (1/24) x^8 - ...) dx

y = C + x - (1/3) x^3 + (1/5)(1/2) x^5 - (1/7) (1/6) x^7 + ...

y = C + x - (1/3) x^3 + (1/10) x^5 - (1/42) x^7 + ...

Como

y(0) = 1

y = 1 + x - (1/3) x^3 + (1/10) x^5 - (1/42) x^7 + ...

**************

término general

Tk = (-1)^k (1/(2k+1)) (1/k!) x^(2k + 1)

Saludos