La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas centrada en (h,k) con los semiejes a y b es:
[ (x - h)^2]/(a^2) + [ (y - k)^2 ] /(b^2) = 1
Como no importa donde ella este centrada, ya que eso no afecta en nada el valor de su superficie, por comodidad hacemos h=0 y k=0 para centrarla en el origen y así hacer más fáciles lo cálculos, por tanto la fórmula anterior queda como:
[ x ^2]/(a^2) + [ y ^2 ] /(b^2) = 1
Despejamos y:
[ x ^2]/(a^2) + [ y ^2 ] /(b^2) = 1
[ y ^2 ] /(b^2) = 1 - [ x ^2]/(a^2)
y ^2 = (b^2) - (b^2)* [ x ^2]/(a^2)
y = (+/-) [ (b^2) - (b^2)* [ x ^2]/(a^2)]^(1/2)
Como vez y1= +[ (b^2) - (b^2)* [ x ^2]/(a^2)]^(1/2) es la parte de la elipse que es positiva (esta sobre el eje x) y
y2 = -[ (b^2) - (b^2)* [ x ^2]/(a^2)]^(1/2) es la parte de la elipse que es negativa (esta debajo de el eje x).
La función y1 corta en el eje x en -a y a; por tanto para saber el valor de la mitad positiva de la elipse debes integrar usando -a y a como limites de integración. Además, como la mitad de la elipse bajo el eje x es igual a la mitad superior, entonces basta con multiplicar por dos el valor obtenido en la primer integral para obtener la superficie total de la elipse.
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Hola
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
y^2/b^2 = 1 - (x^2/a^2) = (a^2 - x^2)/a^2
y^2 = (b^2/a^2) (a^2 - x^2)
Parte superior de la elipse
y = (b/a) √(a^2 - x^2)
Por simetría con respecto al eje x
Area = 2 * ʃ [x_desde_-a_hasta_a] y dx
Por simetría con respecto al eje y
Area = 2 * 2 ʃ [x_desde_0_hasta_a] y dx
Area = 4 ʃ [x_desde_0_hasta_a] (b/a) √(a^2 - x^2) dx
Area = 4 (b/a) ʃ [x_desde_0_hasta_a] √(a^2 - x^2) dx
De acuerdo a tablas de integrales
Area = 4 (b/a) { (1/2) x √(a^2 - x^2) + (1/2) a^2 arcsen(x/a) }
[x_desde_0_hasta_a]
Area = 4 (b/a) ( { (1/2) a √(a^2 - a^2) + (1/2) a^2 arcsen(a/a) } -
- { (1/2) 0 √(a^2 - 0^2) + (1/2) a^2 arcsen(0/a) } )
Area = 4 (b/a) ( { 0 + (1/2) a^2 (π/2) } -
- { 0 + (1/2) a^2 0 } )
Area = 4 (b/a) (1/4) a^2 π
Area = π a b
*******************
Si a = b
tenemos el área de un círculo
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas centrada en (h,k) con los semiejes a y b es:
[ (x - h)^2]/(a^2) + [ (y - k)^2 ] /(b^2) = 1
Como no importa donde ella este centrada, ya que eso no afecta en nada el valor de su superficie, por comodidad hacemos h=0 y k=0 para centrarla en el origen y así hacer más fáciles lo cálculos, por tanto la fórmula anterior queda como:
[ x ^2]/(a^2) + [ y ^2 ] /(b^2) = 1
Despejamos y:
[ x ^2]/(a^2) + [ y ^2 ] /(b^2) = 1
[ y ^2 ] /(b^2) = 1 - [ x ^2]/(a^2)
y ^2 = (b^2) - (b^2)* [ x ^2]/(a^2)
y = (+/-) [ (b^2) - (b^2)* [ x ^2]/(a^2)]^(1/2)
Como vez y1= +[ (b^2) - (b^2)* [ x ^2]/(a^2)]^(1/2) es la parte de la elipse que es positiva (esta sobre el eje x) y
y2 = -[ (b^2) - (b^2)* [ x ^2]/(a^2)]^(1/2) es la parte de la elipse que es negativa (esta debajo de el eje x).
La función y1 corta en el eje x en -a y a; por tanto para saber el valor de la mitad positiva de la elipse debes integrar usando -a y a como limites de integración. Además, como la mitad de la elipse bajo el eje x es igual a la mitad superior, entonces basta con multiplicar por dos el valor obtenido en la primer integral para obtener la superficie total de la elipse.