Verified answer

a)

se applichi la regolatta della probabilità composta trovi:

Pr(X=3, Z=6) = Pr(X=3) * Pr(Z=6 | X=3)

la prima è immediata:

Pr(X=3) = 1/6

la seconda invece:

Pr(Z=6 | X=3) = Pr(Y=3) = 1/6

infatti sapendo che X è 3 l'unica possibilità che Z sia 6 e che Y sia 3.

per cui:

Pr(X=3, Z=6) = 1/6*1/6 = 1/36

c)

qui a differenza di prima ti chiede di calcolare la probabilità che X sia 3 sapendo che la variabile Z è 6, applicando la definizione di probabilità condizionata si trova:

Pr(X=3, Z=6) = Pr(X=3, Z=6)/Pr(Z=6) = 1/36 / (5/36) = 1/5

in pratica condizionando la probabilità con Z = 6 si limita l'insieme dei casi possibili alle sole coppie (X,Y) tali che X + Y = 6:

{ (1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1) }

l'insieme è composto da 5 elementi e il caso favorevole è dato dall'unica coppia con X = 3.

d)

bisogna in pratica calcolare la probabilita di tutti i valori di X condizionati da Z=6, fortunatamente si ricavano facilmente perchè avendo elencato i casi possibili:

Pr(X=1 | Z=6) = 1/5

Pr(X=2 | Z=6) = 1/5

Pr(X=3 | Z=6) = 1/5

Pr(X=4 | Z=6) = 1/5

Pr(X=5 | Z=6) = 1/5

Pr(X=6 | Z=6) = 0

e)

X e Z non sono indipendenti perchè:

P(Z=6 | X=3) = 1/6

mentre

P(Z=6) = 5/36

sono due valori diversi, significa che la determinazione della X influisce sulla probabilità di Z per questo non sono indipendenti.

X e Y invece lo sono perchè relative al lancio di due dadi che in mancanza di ulteriori informazioni si considerano indipendenti.